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Un polyèdre uniforme (en) est un polyèdre qui a pour faces des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents, et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation.

Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi-réguliers ou semi-réguliers. Les faces n'ont pas besoin d'être convexes, si bien que beaucoup de polyèdres uniformes sont étoilés.

En excluant les deux ensembles infinis des prismes et antiprismes uniformes (incluant les convexes et les étoilés), il existe 75 polyèdres uniformes (ou 76 si les arêtes sont autorisées à coïncider) :

Ils peuvent aussi être groupés par leur groupe de symétrie, ce qui est fait ci-dessous.

HistoireModifier

  • Les solides de Platon sont connus depuis l'Antiquité par les Grecs classiques et ont été étudiés par Platon, Théétète et Euclide.
  • Johannes Kepler (1571-1630) fut le premier à publier la liste complète des solides d'Archimède après la perte du travail original d'Archimède.
  • Kepler (1619) a découvert deux des solides de Kepler-Poinsot réguliers et Louis Poinsot (1809) a découvert les deux autres.
  • Des 66 qui restaient, 37 furent découverts par Albert Badoureau (1881). Edmund Hess (en) (1878) en découvrit 2 de plus et Pitsch (1881) en découvrit 18 indépendamment, dont 15 nouveaux.
  • Coxeter découvrit les 12 restants en collaboration avec J. C. P. Miller (en) (1930-1932) mais ne le publia pas. M. S. (en) et H.C. Longuet-Higgins ont indépendamment découvert 11 d'entre eux.
  • En 1954, Coxeter, Longuet-Higgins et Miller publièrent la liste des polyèdres uniformes.
  • En 1970, Sopov démontra leur conjecture établissant que la liste était complète.
  • En 1974, Magnus Wenninger (en) publia son livre, Polyhedron models (en) (patrons de polyèdres), qui est la première liste entière publiée des 75 polyèdres uniformes non prismatiques, dont beaucoup, auparavant sans nom publié, avaient été baptisés par Norman Johnson.
  • En 1975, John Skilling prouva indépendamment la complétude de cette liste, et montra que si la définition du polyèdre uniforme est assouplie pour autoriser la coïncidence des arêtes alors seule une possibilité supplémentaire est offerte.
  • En 1993, Zvi Har'El produisit une construction informatique complète des polyèdres uniformes et de leurs duaux via leurs construction kaleïdoscopiques via un programme informatique appelé Kaleido, et résumé dans un article intitulé Uniform Solution for Uniform Polyhedra., comptant les solides 1-80.
  • En 1993 aussi, R. Mäder porta cette solution Kaleido vers Mathematica avec un système d'indexation légèrement différent.

IndexationModifier

Il existe quatre efforts d'indexation majeurs publiés à partir des travaux ci-dessus. Pour les distinguer, ils sont donnés par différentes lettres d'indexation, C pour la première énumération des solides par Coxeter en 1954, W pour le livre de 1974 sur les patrons de polyèdres par Wenninger, K pour la solution Kaleido de 1993, et U pour la solution de Maeder utilisée par Mathematica et reproduite extensivement ailleurs.

  1. [C] 1954 : cet article listait les polyèdres uniformes par solides de 15 à 92. En démarrant avec 15-32 pour les formes convexes, 33-35 pour les 3 ensembles prismatiques infinis et finissant avec 36-92 pour les formes non convexes.
  2. [W] 1974 : le livre de Wenninger Polyhedron model énumérait les solides de 1 à 119 : 1-5 pour les solides de Platon, 6-18 pour les solides d'Archimède, 19-66 pour les formes étoilées incluant les 4 polyèdres réguliers non convexes et finissait avec 67-119 pour les polyèdres uniformes non convexes.
  3. [K] 1993 Kaleido : les 80 solides donnés dans la solution Kaleido étaient groupés par symétrie, énumérés de 1 à 80 : 1-5 comme représentatifs des familles infinies des formes prismatiques avec la symétrie diédrale, 6-9 avec la symétrie tétraédrique (en), 10-26 avec la symétrie octaédrique, 46-80 avec la symétrie icosaédrique.
  4. [U] 1993 Mathematica : ce listing suivit celui de Kaleido, mais déplaça les 5 formes prismatiques vers la fin, décalant les formes non prismatiques de 5, de 1 à 75.

Formes convexes et arrangements de sommet fondamentauxModifier

Les polyèdres uniformes convexes peuvent être nommés par les opérations de construction de Wythoff sur une forme parent.

Note : les dièdres (en) font partie d'un ensemble infini de polyèdres à deux côtés (2 polygones identiques) qui engendre les prismes comme formes tronquées.

Chacune de ces formes convexes définit un ensemble de sommets qui peut être identifié pour les formes non convexes dans la prochaine section.

Parent Tronqué Rectifié Bitronqué
(dual tronqué)
Birectifié
(dual)
Biseauté Omnitronqué
(Rectifié-tronqué)
Adouci
Symbole de Schläfli
Étendu
               
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Symbole de Wythoff
p-q-2
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin
(variations)
                                               
(o)-p-o-q-o (o)-p-(o)-q-o o-p-(o)-q-o o-p-(o)-q-(o) o-p-o-q-(o) (o)-p-o-q-(o) (o)-p-(o)-q-(o) ( )-p-( )-q-( )
xPoQo xPxQo oPxQo oPxQx oPoQx xPoQx xPxQx sPsQs
[p,q]:001 [p,q]:011 [p,q]:010 [p,q]:110 [p,q]:100 [p,q]:101 [p,q]:111 [p,q]:111s
Configuration de sommet (en) pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
Tétraédrique
3-3-2
 
{3,3}
 
(3.6.6)
 
(3.3.3.3)
 
(3.6.6)
 
{3,3}
 
(3.4.3.4)
 
(4.6.6)
 
(3.3.3.3.3)
Octaédrique
4-3-2
 
{4,3}
 
(3.8.8)
 
(3.4.3.4)
 
(4.6.6)
 
{3,4}
 
(3.4.4.4)
 
(4.6.8)
 
(3.3.3.3.4)
Icosaédrique
5-3-2
 
{5,3}
 
(3.10.10)
 
(3.5.3.5)
 
(5.6.6)
 
{3,5}
 
(3.4.5.4)
 
(4.6.10)
 
(3.3.3.3.5)
Diédrique
p-2-2
Exemple p=5
{5,2} 2.10.10 2.5.2.5  
4.4.5
{2,5} 2.4.5.4  
4.4.10
 
3.3.3.5

Définition des opérationsModifier

 
Opération Étendu
Symboles
de Schläfli
Diagramme
de Coxeter-
Dynkin
Description
Parent t0{p,q}         Polyèdre régulier quelconque ou pavage
Rectifié t1{p,q}         Les arêtes sont pleinement tronquées en points uniques. Le polyèdre maintenant possède les faces combinées du parent et du dual.
Birectifié
Dual
t2{p,q}         Le birectifié (dual) est une troncature plus poussée c’est-à-dire que les faces originales sont réduites à des points. Les nouvelles faces sont formées sous chaque sommet du parent. Le nombre d'arêtes est inchangé et est tourné à 90 degrés. Le dual d'un polyèdre régulier {p, q} est aussi un polyèdre régulier {q, p}.
Tronqué t0,1{p,q}         Chaque sommet original est découpé, avec de nouvelles faces remplissant le trou. La troncature possède un degré de liberté, qui a une solution qui créée un polyèdre uniforme tronqué. Le polyèdre a ses faces originales doublées par côtés, et contient les faces du dual.
 
Bitronqué t1,2{p,q}         Identique au dual tronqué.
Biseauté
(ou rhombé)
(développé)
t0,2{p,q}         En ajout à la troncature des sommets, chaque arête originale est rabotée faisant apparaître à la place de nouvelles faces rectangulaires. Un biseautage uniforme est à mi-chemin entre le parent et les formes duales.
 
Omnitroncature
(ou rectification-troncature)
t0,1,2{p,q}         Les opérations de troncature et de rectification sont appliquées ensemble, créant une forme omnitronquée qui a les faces du parent doublées sur les côtés, les faces du dual doublées sur les côtés et des carrés où les arêtes originales existaient.
Adouci s{p,q}         L'adoucissement prend la forme omnitronquée et rectifie les sommets alternativement (cette opération est seulement possible pour les polyèdres avec toutes les faces sur les côtés paires). Toutes les faces originales finissent avec la moitié des côtés, et le carré dégénère en arêtes. Puisque les formes omnitronquées ont 3 faces/sommet, de nouveaux triangles sont formés.
 

Formes non convexes listées par groupes de symétrie et par arrangements de sommetModifier

Tous les polyèdres uniformes sont listés ci-dessous par leurs groupes de symétrie et sous-groupés par leurs arrangements de sommet.

Les polyèdres réguliers sont marqués par leurs symboles de Schläfli. Les autres polyèdres non réguliers uniformes sont listés par leur configuration de sommet (en) ou par l'indice des polyèdres uniformes U(1-80).

Note : Pour les formes non convexes, un descripteur supplémentaire, « non uniforme », est utilisé lorsque l'enveloppe convexe de l'arrangement de sommet possède la même topologie que l'un d'entre eux, mais possède des faces non régulières. Par exemple, une forme biseautée non uniforme peut avoir des rectangles créés à la place d'arêtes plutôt que des carrés.

Symétrie tétraédriqueModifier

Il existe deux polyèdres uniformes convexes, le tétraèdre et le tétraèdre tronqué, et une forme non convexe, le tétrahémihexaèdre qui possède une symétrie tétraédrique (en). Le tétraèdre est un polyèdre autodual.

En plus, l'octaèdre, l'octaèdre tronqué, le cuboctaèdre et l'icosaèdre ont une symétrie tétraédrique de même qu'une symétrie plus élevée. Ils sont ajoutés pour l'exhaustivité ci-dessous, bien que leurs formes non convexes avec la symétrie octaédrique ne soient pas incluses ici.

Groupe de sommet Convexe Non convexe
(Tétraèdre)  
{3,3}
Tronqué (*)  
(3.6.6)
Rectifié (*)  
{3,4}
 
(4.3/2.4.3)
Biseauté (*)  
(3.4.3.4)
Omnitronqué (*)  
(4.6.6)
Adouci (*)  
{3,5}

Symétrie octaédriqueModifier

Il existe 8 formes convexes et 10 formes non convexes avec la symétrie octaédrique.

Groupe de sommet Convexe Non convexe
(Octaédrique)  
{3,4}
Tronqué (*)  
(4.6.6)
Rectifié (*)  
(3.4.3.4)
 
(6.4/3.6.4)
 
(6.3/2.6.3)
Dual tronqué (*)  
(3.8.8)
 
(4.8/3.4/3.8/5)
 
(8/3.3.8/3.4)
 
(4.3/2.4.4)
Dual (*)  
{4,3}
Biseauté (*)  
(3.4.4.4)
 
(4.8.4/3.8)
 
(8.3/2.8.4)
 
(8/3.8/3.3)
Omnitronqué (*)  
(4.6.8)
Omnitronqué non uniforme (*) (4.6.8)  
(8/3.4.6)
 
(8/3.6.8)
Adouci (*)  
(3.3.3.3.4)

Symétrie icosaédriqueModifier

Il existe 8 formes convexes et 46 formes non convexes ayant la symétrie icosaédrique (ou 47 formes non convexes si le polyèdre de Skilling est inclus). Certaines formes adoucies non convexes ont une symétrie chirale non uniforme, et certaines ont une symétrie achirale.

Il existe beaucoup de formes non uniformes de degrés variés de troncature et de biseautage.

Groupe de sommet Convexe Non convexe
(Icosaédrique)  
{3,5}
 
{5/2,5}
 
{5,5/2}
 
{3,5/2}
Tronqué (*)  
(5.6.6)
Tronqué non uniforme (*) (5.6.6)  
U32
 
U37
 
U61
 
U38
 
U44
 
U56
 
U67
 
U73
Rectifié (*)  
(3.5.3.5)
 
U49
 
U51
 
U54
 
U70
 
U71
 
U36
 
U62
 
U65
Dual tronqué (*)  
(3.10.10)
 
U42
 
U48
 
U63
Dual tronqué non uniforme (*) (3.10.10)  
U68
 
U72
 
U45
Dual (*)  
{5,3}
 
{5/2,3}
 
U30
 
U41
 
U47
Biseauté (*)  
(3.4.5.4)
 
U33
 
U39
Biseauté non uniforme (*) (3.4.5.4)  
U31
 
U43
 
U50
 
U55
 
U58
 
U75
 
U64
 
U66
Omnitronqué (*)  
(4.6.10)
Omnitronqué non uniforme (*) (4.6.10)  
U59
Adouci (*)  
(3.3.3.3.5)
Adouci non uniforme (*) (3.3.3.3.5)  
U40
 
U46
 
U57
 
U69
 
U60
 
U74

Polyèdre de SkillingModifier

Il existe un polyèdre non convexe supplémentaire appelé le grand dirhombidodécaèdre disadouci, aussi connu sous le nom polyèdre de Skilling. Il est de sommets uniformes, mais des paires d'arêtes coïncident dans l'espace de telle sorte que quatre faces se rencontrent à certains sommets. Il est quelquefois, mais pas toujours, compté comme un polyèdre uniforme. Il possède une symétrie Ih.

 

Symétrie diédraleModifier

Il existe deux ensembles infinis de polyèdres uniformes avec la symétrie diédrale :

Si p/q est un nombre entier, i.e. si q = 1, le prisme ou l'antiprisme est convexe (la fraction est toujours supposée irréductible).

La différence entre les groupes de symétrie prismatiques et antiprismatique réside dans le fait que Dph possède un plan de réflexion parallèle au polygone {p/q}, alors que Dpd n'en possède pas.

Un antiprisme avec p/q < 2 est croisé ; sa figure de sommet ressemble à un nœud papillon. Si p/q ≤ 3/2, aucun antiprisme ne peut exister, comme sa figure de sommet violerait l'inégalité triangulaire.

Note : le tétraèdre, le cube et l'octaèdre sont listés ici avec la symétrie diédrale (en tant qu'antiprisme digonal, prisme tétragonal et antiprisme trigonal respectivement) ; bien qu'uniformément colorés, le premier a aussi une symétrie tétraédrique et les deux autres une symétrie octaédrique.

Groupe de
symétrie
Convexe Non convexe
d2d  
3.3.3
d3h  
3.3.4
d3d  
3.3.3.3
d4h  
4.4.4
d4d  
3.3.3.4
d5h  
4.4.5
 
4.4.5/2
 
3.3.3.5/2
d5d  
3.3.3.5
 
3.3.3.5/3 (en)
d6h  
4.4.6
d6d  
3.3.3.6
d7h  
4.4.7 (en)
 
4.4.7/2 (en)
 
4.4.7/3 (en)
 
3.3.3.7/2 (en)
 
3.3.3.7/4 (en)
d7d  
3.3.3.7 (en)
 
3.3.3.7/3 (en)
d8h  
4.4.8
 
4.4.8/3 (en)
d8d  
3.3.3.8
 
3.3.3.8/3 (en)
 
3.3.3.8/5 (en)
d9h  
4.4.9 (en)
  
4.4.9/2 et 4.4.9/4 (en)
  
3.3.3.9/2 et 3.3.3.9/4 (en)
d9d  
3.3.3.9 (en)
3.3.3.9/5
d10h  
4.4.10
4.4.10/3
d10d  
3.3.3.10
3.3.3.10/3
d11h  
4.4.11
4.4.11/2
4.4.11/3
4.4.11/4
4.4.11/5
3.3.3.11/2
3.3.3.11/4
3.3.3.11/6
d11d 3.3.3.11 3.3.3.11/3
3.3.3.11/5
3.3.3.11/7
d12h  
4.4.12
4.4.12/5 3.3.3.12/7
d12d  
3.3.3.12
3.3.3.12/5
...

RéférencesModifier

Liens externesModifier