Espace de Fock


L'espace de Fock est une construction algébrique utilisée en mécanique quantique pour construire l'espace des états quantiques d'un nombre variable ou inconnu de particules identiques à partir d'une seule particule de l'espace de Hilbert H. Il porte le nom de Vladimir A. Fock qui l'a présenté pour la première fois dans son article de 1932 "Konfigurationsraum und zweite Quantelung", traduisible par "espace de configuration et deuxième quantification." [1],[2]

De manière informelle, un espace de Fock est la somme d'un ensemble d'espaces de Hilbert représentant zéro état de particule, un état de particule, deux états de particule, et ainsi de suite. Si les particules identiques sont des bosons, les n états de particules sont des vecteurs dans un produit tensoriel symétrisé de n espaces de Hilbert à particule unique H. Si les particules identiques sont des fermions, les n états de particules sont des vecteurs dans un produit tensoriel antisymétrisé n espaces de Hilbert à particule unique H (Voir respectivement algèbre symétrique et algèbre extérieure). Un état général dans l'espace de Fock est une combinaison linéaire de n états de particules, un pour chaque n.

Techniquement, l'espace de Fock est (la complétion de l'espace de Hilbert de) la somme directe des tenseurs symétriques ou antisymétriques dans les puissances tensorielles d'un espace de Hilbert à particule unique H ,

Ici est l'⁣opérateur qui symétrise ou antisymétrise un tenseur, selon que l'espace de Hilbert décrit des particules obéissant au bosonique ou fermionique statistiques, et le surlignement représente l'achèvement de l'espace. L'espace de Fock bosonique (respectivement fermionique) peut également être construit comme (l'espace de Hilbert complétant) les tenseurs symétriques (respectivement tenseurs alternatifs ). Pour chaque base de H, il existe une base naturelle de l'espace de Fock, les états de Fock.

DéfinitionModifier

L'espace de Fock est la somme directe (de Hilbert) des produits tensoriels de copies d'un espace de Hilbert à une seule particule  

 

Ici  , les scalaires complexes, sont constitués des états correspondant à aucune particule,   les états d'une particule,   les états de deux particules identiques etc. Un état général en   est donné par

 

  est un vecteur de longueur 1 appelé état de vide et   est un coefficient complexe,
  est un état dans l'espace de Hilbert à particule unique et   est un coefficient complexe,
 , et   est un coefficient complexe,
etc.

La convergence de cette somme infinie est importante si   doit être un espace de Hilbert. Techniquement, nous avons besoin que   soit la complétion spatiale de Hilbert de la somme algébrique directe. Il se compose de tous les tuples infinis   tel que la norme, définie par le produit scalaire est finie

 

où le   la norme particulaire est définie par

 

c'est-à-dire la restriction de la norme sur le produit tensoriel  

Pour deux états généraux

 , et
 

le produit intérieur sur   est alors défini comme

 

où nous utilisons les produits intérieurs sur chacun des espaces de Hilbert à  -particules. À noter, en particulier les   les sous-espaces de particules sont orthogonaux pour des   différents.

États du produit, particules indiscernables et base utile pour l'espace de FockModifier

Un état produit de l'espace de Fock est un état de la forme

 

qui décrit une collection de   particules, dont l'une a un état quantique  , une autre   et ainsi de suite jusqu'à la  ème particule, où chaque   est un état quelconque de l'espace de Hilbert à particule unique  . Ici la juxtaposition (écriture des kets de particule unique côte à côte, sans le   ) est la multiplication symétrique (respectivement antisymétrique) dans l'⁣algèbre tensorielle symétrique (respectivement antisymétrique). L'état général dans un espace de Fock est une combinaison linéaire d'états produits. Un état qui ne peut pas être écrit comme une somme convexe d'états produits est appelé un état intriqué.

Quand on parle d'une particule dans l'état  , il faut garder à l'esprit qu'en mécanique quantique des particules identiques sont indiscernables. Dans le même espace de Fock, toutes les particules sont identiques. (Pour décrire de nombreuses espèces de particules, nous prenons le produit tensoriel d'autant d'espaces de Fock différents qu'il y a d'espèces de particules considérées). L'une des caractéristiques les plus puissantes de ce formalisme est que les états sont implicitement correctement symétrisés. Par exemple, si l'état ci-dessus   est fermionique, il vaudra 0 si deux (ou plus) des   sont égaux parce que le produit antisymétrique (extérieur)  . Il s'agit d'une formulation mathématique du principe d'exclusion de Pauli selon lequel deux (ou plus) fermions ne peuvent pas être dans le même état quantique. En fait, chaque fois que les termes d'un produit formel sont linéairement dépendants ; le produit sera nul pour les tenseurs antisymétriques. De plus, le produit des états orthonormés est proprement orthonormé par construction (bien que possiblement nul dans le cas de Fermi, lorsque deux états sont égaux).

Une base utile et pratique pour un espace Fock est la base du nombre d'occupations. Étant donné une base   de  , on peut désigner l'état par   particules en état  ,   particules en état  , ...,   particules en état  , et aucune particule dans les états restants, en définissant

 

où chacun   prend la valeur 0 ou 1 pour les particules fermioniques et 0, 1, 2, ... pour les particules bosoniques. Notez que les zéros à droite peuvent être supprimés sans changer l'état. Un tel état est appelé état de Fock. Quand les   sont compris comme étant les états stables d'un champ libre, les états de Fock décrivent un assemblage de particules sans interaction en nombre défini. L'état de Fock le plus général est une superposition linéaire d'états purs.

Deux opérateurs de grande importance sont les opérateurs de création et d'annihilation, qui, en agissant sur un état de Fock, ajoutent ou suppriment respectivement une particule dans l'état quantique attribué. Ils sont notés   pour la création et   pour l'annihilation. Pour créer ("ajouter") une particule, l'état quantique   est symétrique ou extérieur- multiplié par   ; et respectivement pour annihiler ("supprimer") une particule, un produit intérieur (pair ou impair) est pris avec  , qui est l'adjoint de  . Il est souvent pratique de travailler avec des états de la base de   de sorte que ces opérateurs suppriment et ajoutent exactement une particule dans l'état de base donné. Ces opérateurs servent également de générateurs pour des opérateurs plus généraux agissant sur l'espace de Fock, par exemple l'⁣opérateur nombre donnant le nombre de particules dans un état spécifique   est  .

Interprétation de la fonction d'ondeModifier

Souvent l'espace d'une particule   est donné comme  , l'espace des fonctions carrées intégrables sur un espace   avec mesure   (à proprement parler, les classes d'équivalence de fonctions carrées intégrables où les fonctions sont équivalentes si elles diffèrent sur un ensemble de taille négligeable). L'exemple type est la particule libre avec   l'espace des fonctions carrées intégrables sur l'espace à trois dimensions. Les espaces de Fock ont alors une interprétation naturelle en tant que fonctions carrées intégrables symétriques ou antisymétriques comme suit.

Soit   et  ,  ,   etc.

Considérons l'espace des tuples de points qui est l'⁣union disjointe

 

Il a une mesure naturelle   tel que   et la restriction de   à   est  . L'espace même Fock   peut alors être identifié à l'espace des fonctions symétriques dans   alors que l'espace impair de Fock   peut être identifié à l'espace des fonctions antisymétriques. L'identification découle directement de la cartographie isométrique

 
  .

Donnant les fonctions d'onde  , le déterminant de Slater

 

est une fonction antisymétrique sur  . Elle peut donc être naturellement interprétée comme un élément du secteur à  -particules de l'espace impair de Fock. La normalisation est choisie telle que   si les fonctions   sont orthonormés. Il existe un "permanent de Slater" similaire avec le déterminant remplacé par le permanent qui donne des éléments de  -secteur de l'espace Fock pair.

Relation avec l'espace Segal-BargmannModifier

Définissons l'espace spatial Segal-Bargmann   [3] des fonctions holomorphes complexes intégrables au carré par rapport à une mesure gaussienne :

 

  .

Puis définissons un espace   comme l'union emboîtée des espaces   sur les entiers  . Segal [4] et Bargmann ont montré [5],[6] que   est isomorphe à un espace bosonique de Fock. Le monôme

 

correspond à l'état de Fock

 

Voir égalementModifier

Notes et référencesModifier

  1. (de) Fock, « Konfigurationsraum und zweite Quantelung », Zeitschrift für Physik, Springer Science and Business Media LLC, vol. 75, nos 9-10,‎ , p. 622–647 (ISSN 1434-6001, DOI 10.1007/bf01344458)
  2. M.C. Reed, B. Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II", Academic Press 1975. Page 328.
  3. Bargmann, « On a Hilbert space of analytic functions and associated integral transform I », Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 14,‎ , p. 187–214 (DOI 10.1002/cpa.3160140303)
  4. Segal, « Mathematical problems of relativistic physics », Proceedings of the Summer Seminar, Boulder, Colorado, 1960, Vol. II,‎
  5. Bargmann, « Remarks on a Hilbert space of analytic functions », Proc. Natl. Acad. Sci., vol. 48, no 2,‎ , p. 199–204 (PMID 16590920, PMCID 220756, DOI 10.1073/pnas.48.2.199, Bibcode 1962PNAS...48..199B)
  6. Stochel, « Representation of generalized annihilation and creation operators in Fock space », Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, vol. 34,‎ , p. 135–148 (lire en ligne, consulté le )

Liens externesModifier