Algèbre symétrique

En mathématiques, l'algèbre symétrique est une algèbre sur un corps associative, commutative et unifère utilisée pour définir des polynômes sur un espace vectoriel.

L'algèbre symétrique est un outil important dans la théorie des algèbres de Lie et en topologie algébrique dans la théorie des classes caractéristiques.

Algèbre symétrique d'un espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel, l'algèbre symétrique de E, notée, S (E) ou Sym (E) est l'algèbre quotient de l'algèbre tensorielle T (E) par l'idéal bilatère I (E) engendré par les éléments $v\otimes u-u\otimes v$ où u et v sont des éléments de E.

S (E) = T (E) / I (E)

Cette algèbre est une algèbre associative, commutative et unifère.

La puissance symétrique k-ième de E, notée $S^{k}(E)$, est l'image du sous-espace vectoriel $T^{k}(E)$ dans S (E).

$S^{k}(E)=T^{k}(E)/I_{k}(E)\qquad$ où $\qquad I_{k}(E)=T^{k}(E)\cap I(E)$

L'algèbre symétrique est la somme directe des puissances symétriques k-ièmes de E :

$S(E)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(E)$.

On a :

$S^{0}(E)=K\quad$ et $\quad S^{1}(E)=T^{1}(E)$

Algèbre symétrique d'un module

Si A est un anneau unitaire commutatif et M un module sur A, la construction précédente définit une algèbre S (M) sur l'anneau A.

Lorsque $M$ est un module libre, $S(M)$ est isomorphe à l'anneau des polynômes commutatifs à coefficients dans $A$ à indéterminées indexées par les éléments d'une base.

Pour tout module $M$ de type fini, ${\mathrm {S} }(M)$ est une algèbre de type fini sur $A$.

Exemples : cas des espaces vectoriels de dimension finie

Si l'espace vectoriel est le corps K, l'algèbre symétrique S (K) est isomorphe à l'algèbre des polynômes à une indéterminée K [X].

Si l'espace vectoriel est $K\times K$, l'algèbre symétrique S ($K\times K$) est isomorphe à l'algèbre des polynômes à deux indéterminées K [X, Y].

Polynômes sur un espace vectoriel et tenseurs symétriques

Les polynômes sur un espace vectoriel E sont définis comme les éléments de l'algèbre symétrique $S(E^{*})$ où $E^{*}$ désigne le dual de l'espace vectoriel E.

Les polynômes homogènes de degré k sont les éléments de l'espace vectoriel $S^{k}(E^{*})$

Ce sont des éléments du quotient $T^{k}(E^{*})/I_{k}(E^{*})$ où $I_{k}(E^{*})=T^{k}(E^{*})\cap I(E^{*})$.

Les éléments de $T^{k}(E^{*})$ sont des applications linéaires

$P:\underbrace {E\otimes \cdots \otimes E} _{k{\text{-fois}}}\rightarrow \mathbb {K}$

Un tenseur élément de $T^{k}(E^{*})$ définit une application polynomiale homogène de degré k : $F(x)=P(x,x,x,...,x)$, qui ne dépend que de l'élément de $S^{k}(E^{*})$ associé.

Les polynômes symétriques s'identifient (si le corps est de caractéristique 0), aux tenseurs symétriques qui sont les éléments de $T(E^{*})$ invariants par le groupe symétrique.

Bibliographie

• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre II, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Hermann, 1970 (réimpr. 2007), 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9, BNF 40227395)
  Les algèbres symétriques sont traitées dans le chapitre III : Algèbres tensorielles, extérieures et symétriques.