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Algèbre symétrique

Algèbre symétrique d'un espace vectorielModifier

Soit E un espace vectoriel, l'algèbre symétrique de E, notée, S (E) ou Sym (E) est l'algèbre quotient de l'algèbre tensorielle T (E) par l'idéal bilatère I (E) engendré par les éléments  u et v sont des éléments de E.

S (E) = T (E) / I (E)

Cette algèbre est une algèbre associative, commutative et unifère.

La puissance symétrique k-ième de E, notée  , est l'image du sous-espace vectoriel   dans S (E).

  

L'algèbre symétrique est la somme directe des puissances symétriques k-ièmes de E :

 .

On a :

  et  

Algèbre symétrique d'un moduleModifier

Si A est un anneau unitaire commutatif et M un module sur A, la construction précédente définit une algèbre S (M) sur l'anneau A.

Lorsque   est un module libre,   est isomorphe à l'anneau des polynômes commutatifs à coefficients dans   à indéterminées indexées par les éléments d'une base.

Pour tout module   de type fini,   est une algèbre de type fini sur  .

Exemples : cas des espaces vectoriels de dimension finieModifier

Si l'espace vectoriel est le corps K, l'algèbre symétrique S (K) est isomorphe à l'algèbre des polynômes à une indéterminée K [X].

Si l'espace vectoriel est  , l'algèbre symétrique S ( ) est isomorphe à l'algèbre des polynômes à deux indéterminées K [X, Y].

Polynômes sur un espace vectoriel et tenseurs symétriquesModifier

Les polynômes sur un espace vectoriel E sont définis comme les éléments de l'algèbre symétrique    désigne le dual de l'espace vectoriel E.

Les polynômes homogènes de degré k sont les éléments de l'espace vectoriel  

Ce sont des éléments du quotient   .

Les éléments de   sont des applications linéaires

 

Un tenseur élément de   définit une application polynomiale homogène de degré k :  , qui ne dépend que de l'élément de   associé.

Les polynômes symétriques s'identifient (si le corps est de caractéristique 0), aux tenseurs symétriques qui sont les éléments de   invariants par le groupe symétrique.

BibliographieModifier