Équation normale

Une équation normale est un concept mathématique que l'on peut trouver en géométrie euclidienne (pour une droite ou un plan) et en statistiques.

En géométrie modifier

Droite du plan modifier

Dans un plan affine euclidien, l'équation d'une droite affine $ax + by + c = 0$ est dite normale si $a 2 + b 2 = 1$ . Les coefficients $a$ et $b$ sont alors les cosinus directeurs de la normale (N) à la droite passant par l'origine, c'est-à-dire que $a$ peut s'écrire $cos α$ où $α$ est l'angle entre l'axe $x$ et la normale, et que $b$ peut s'écrire $cos β$ où $β$ est l'angle entre l'axe $y$ et la normale.

En deux dimensions (plan affine), $β = π/2 - α$ donc $cos β = sin α$ et $sin β = cos α$ , donc effectivement $cos 2 α + cos 2 β = 1$ , mais lorsqu'on monte dans les dimensions supérieures, il n'existe plus de relations triviale entre les cosinus directeurs, sinon que la somme de leurs carrés doit être égale à 1.

Une droite du plan admet exactement deux équations normales, qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.

L'avantage de l'équation normale est que si M est un point de coordonnées $(x, y)$ , la distance du point M à la droite est égale à $| ax + by + c |$ .

Plan de l'espace modifier

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, une équation de plan affine $ax + by + cz + d = 0$ est dite normale si $a 2 + b 2 + c 2 = 1$ .
Un plan de l'espace admet exactement deux équations normales qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.
L'avantage de l'équation normale est que si M est un point de coordonnées $(x, y, z)$ , la distance du point M au plan est égale à $| ax + by + cz + d |$ .
On peut généraliser à un hyperplan.

En statistiques modifier

En statistique, les équations normales sont des équations matricielles de la forme :

^tAAx = ^tAb

où

A est une matrice de réels de dimensions n×p ;
^tA est la matrice transposée de A ;
x est un vecteur réel inconnu de dimension p ;
b est un vecteur connu de dimension n.

Elles sont utilisées pour effectuer une régression linéaire par la méthode des moindres carrés. De manière générale, il s'agit de la pseudo-solution du système linéaire

Ax = b

que l'on ne peut pas résoudre de manière classique lorsque l'on a plus d'équations indépendantes que d'inconnues (n > p, système surdéterminé).

Article détaillé : Pseudo-solution.

Référence modifier

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