Discussion:Gradient

Je me suis permis de supprimer l'encadré réclamant de citer des sources. Je n'ai trouvé nulle part de "Référence nécessaire". (2 Février 2010).

Qualité

Je viens de corriger une énorme erreur mathématique dans la section « Définition mathématique, Cas général ». De manière générale, la partie mathématique mérite d'être entièrement recyclée, actuellement c'est n'importe quoi. Malheureusement je n'ai pas le temps là... Ophiccius (d) 10 février 2010 à 15:47 (CET)

Pour moi, cet article est à recycler. Qu'en pensez-vous ? — florian, le 3 mai 2007 à 14:24 (CEST)

L'article est très probablement perfectible (style, forme, contenu) donc n'hésite pas à pratiquer une refonte. Je viens juste ici préciser la raison d'être du plan actuel. Le gradient est une notion dont le développement mathématique et physique est important, il est donc tentant de développer cet article directement comme un article scientifique de bon niveau. Cependant, de nombreux lecteurs n'ayant jamais fait Bac + 2 en math ou physique ont l'occasion de rencontrer ce mot et on besoin d'une approche simple de la notion, c'est la raison d'être du premier paragraphe touchant la notion de gradient de température. Je souhaiterai qu'une refonte conserve cette préoccupation : présenter simplement le gradient de température avant le développement purement mathématique de la notion. Quant à la vision du gradient comme un vecteur normal à une courbe isotruc, elle me semble présenter un éclairage visuel intéressant. Quant au manque de source, eh bien....sur la définition du gradient, prendre n'importe quel bouquin de licence ou de prépa et sur l'approche pédagogique du gradient de température, faire confiance à mon expérience professionnelle. HB 5 mai 2007 à 08:05 (CEST)

d'accord sur le fond avec HB (d · c · b), avec deux nunances

• le lien vers gradient thermique adiabatique n'est pas forcément très heureux arce que ce dernier n'est pas le "vrai" gradient mesuré, mais une abstraction (si j'ai bien compris la page correspondante). Alors je ne le trouve pas très éclairant.
• je me souviens qu'en géologie (en classe de première je pense ?) on parlait du gradient de température dans le sol (y avait il un nom), la température étant supposée implicitement varier linéairement avec la profondeur. Je ne me rappelle plus ni les noms ni les chiffres, mais il me semble que c'est l'exemple le plus basique, et le plus proche de l'expérience commune.

pour les courbes iso-truc, oui c'est fondamental !

il faudrait que flo dise comment il verrait les choses Peps 5 mai 2007 à 15:38 (CEST)

En fait ce quime gênait le plus c'était l'application aux rectangles sans préciser qu'il s'agissait d'une approximation linéaire, et un sentiment de manque de cohérence. Je suis 100% pour l'approche intuitive et les liens physiques, mais j'aurais aimé plus de détails mathématiques. Généralement, Wiki suffit à apaiser ma curiosité. Ici, non. J'ai exagéré avec «à recycler», je voulais dire «à étoffer». Et si je le demande ici, c'est que j'en ai pas les compétences : j'utilise Wiki pour apprendre ; généralement je n'ai pas grand chose à expliquer. — florian, le 19 mai 2007 à 23:04 (CEST)

Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques

Ce serait intéressant d'ajouter les expressions des gradients en coordonnées polaires, cylindriques et sphériques, non ?--Inujel (d) 19 janvier 2008 à 17:04 (CET)

Gradient de température dans trois directions différentes

Bonjour, une petite question. C'est marqué :

$T(x_{0}+\mathrm {d} x,y_{0}+\mathrm {d} y,z_{0}+\mathrm {d} z)=T(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} x}}.\mathrm {d} x+{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} y}}.\mathrm {d} y+{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} z}}.\mathrm {d} z$

Je me demandais, en tant qu'étudiant n'ayant jamais touché au gradient, si à la place des dT/dx,...,dT/dz, ce serait pas plutôt "d rond" T / "d rond" x ?

Probablement, je modifie.

cdang | m'écrire 10 octobre 2008 à 11:28 (CEST)

Dérivée totale (au sens de Fréchet)

Vous pensez quoi de mon article sur la Dérivée totale ?
Merci de le modifier! - Je vous en encourage!
Tout remarque sur la site de discussion de l'article svp! Salutations, Saippuakauppias ⇄ 24 avril 2008 à 23:29 (CEST)

Demande de césure

Je comprends parfaitement les motivations de HB (d · c · b) qui défendaient plsu haut la présentation actuelle de l'article. Néanmoins, il est dangereux de mélanger l'huile chaude et l'eau froide. En géométrie et en analyse, le gradient d'une fonction se définit à partir du calcul différentiel. L'article anglophone (en) ou l'article allemand (de) sont plus cohérents, même si incomplets. Notez que les germanophones ont divisé le sujet en pusieurs pages (voir (de)). Cette solution me semble la plus raisonnable, et je suis étonné qu'elle n'avait pas été proposée ici.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 10 octobre 2009 à 18:52 (CEST)

Ambigüité des notations

Dans l'introduction de l'article on présente le gradient avec sa notation de nabla vectoriel (notation peu rigoureuse mathématiquement, comme pour la divergence, mais allégeant beaucoup de calculs donc très appréciée des physiciens... Qui sont les 1er utilisateurs du gradient/divergence) puis la commune convention d'écrire les vecteurs en gras seuleument en parcourant rapidement l'article j'ai eu beaucoup de mal a distinguer les lettres en gras de non gras, je sais que le gradient à pour argument un champs scalaire (non gras) donc j'arrive a m'y retrouver mais je me dis que quelqu'un découvrant cette notion serais vite perdu par les différente notation et les détails visuels... Je propose de reprendre l'article et d'homogénéiser toute ces notations (j'ai une préférence personnel pour la notation \operatorname{grad}. Zaborowzki (d) 24 février 2010 à 12:42 (CET)

Incohérence

Bonjour,

Le gradient est défini comme une grandeur vectorielle dans le RI, ce qui est juste. Mais voilà que dès le premier paragraphe, il devient une simple dérivée, donc un scalaire, ce qui est faux ou tout du moins très abusif. Il faudrait, selon moi, ajouter le vecteur ${\vec {i}}$ comme noté dans le paragraphe suivant.

— Alasjourn (Discussion) 17 août 2013 à 22:42 (CEST)

Espace de définition du gradient

Il serait souhaitable de préciser que le gradient est définie uniquement pour les fonction $f$ définie de Rⁿ $\mapsto$ R. Et qu'il se généralise pour des fonction de Rⁿ dans R^m par la matrice Jacobienne. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 155.56.44.140 (discuter), le 3 juillet 2018 à 12:31‎.

Je suis d'accord. Concernant le premier point, j'ai modifié le RI pour l'expliciter (et j'en ai profité pour indiquer un abus de langage malheureusement rentré dans les mœurs). Concernant le second point, je pense qu'un appel de note à la fin du premier item du RI ferait l'affaire. — Ariel (discuter) 3 juillet 2018 à 16:48 (CEST)

Développement limité

Dans l'article figurait, à une place incongrue, cette section

Si une application admet un gradient en un point, alors on peut écrire ce développement limité du premier ordre

$f(x+h)=f(x)+\langle \nabla f(x)\mid h\rangle +o(h)\ {\text{ ou }}f(x-h)=f(x)-\langle \nabla f(x)\mid h\rangle +o(h)$

Numériquement, il est très intéressant de faire ensuite la demi-différence des deux développements pour obtenir la valeur du gradient et on note que celui-ci ne dépend pas en fait de la valeur de la fonction au point x : f (x). Cette formule a l'avantage de tenir compte des gradients du 2^e ordre et est donc beaucoup plus précise et numériquement robuste.

L'hypothèse est, en pratique, de connaitre les valeurs "passé" et "futur" de la fonction autour d'un petit voisinage du point x.

La première phrase est dans l'article depuis longtemps sans précision sur la nature de x et h. La notation de Landau laisse supposer que h est un réel ce qui est très réducteur.

La seconde partie a été ajoutée en mars 2016. Elle est tellement confuse qu'elle vient de susciter de nombreuses interrogations. Elle semble faire référence à un calcul de la dérivée au point a (et non du gradient) par la limite en 0 de ${\frac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}}$ avec une allusion confuse à l'ordre 2. En effet, si f est deux fois dérivable en a on a $f'(a)={\frac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}}+h\epsilon (h)$ alors que $f'(a)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}+\epsilon (h)$. Mais autant cette propriété est intéressante pour une dérivée, autant je ne l'ai jamais vu appliquer pour un gradient.

Vu l'absence de source et la confusion du discours, j'ai supprimé cette considération.

Quant à la première, je l'ai remise dans la section que je peux sourcer c'est-à-dire pour a et h appartenant à un espace euclidien (et en parlant de o(||h||) et non de o(h))

Bien entendu mon action peut être annulée par toute personne capable de clarifier l'ancien discours et de mettre des sources. HB (discuter) 15 août 2023 à 14:52 (CEST)

Accessibilité du RI

 Jules* :. Tu viens d'apposer un bandeau demandant de réécrire le RI en indiquant que « une définition précise n'empêche pas également une courte présentation vulgarisée ». La notion de gradient est en effet un notion très technique. J'ai regardé la version anglaise et la version allemande et ne l'ai pas trouvée plus vulgarisée que la notre. Ce qui semblerait prouver que l'exercice est difficile. Sans précision de ta part, il est difficile de savoir dans quelle direction aller. J'ai fait une proposition mais ne sais pas si elle va dans le sens de tes attentes. HB (discuter) 21 août 2023 à 14:11 (CEST)

Bonjour @HB : ta modification rend le premier paragraphe bien plus compréhensible, merci ! Je ne suis pas matheux, mais elle me permet de me faire une idée de la notion, ce qui n'était pas le cas de l'ancienne version. Bien à toi, — Jules* ^discuter 21 août 2023 à 14:16 (CEST)

Notation de la dérivée d'une fonction de plusieurs variables

L'article Gradient utilise plusieurs notations pour la dérivée au point a d'une fonction de plusieurs variables. J'y ai vu (notamment) :

• $f'\!(a)$ : celle que je préfère ;
• ${\mathcal {D}}_{a}f$ : je trouve ${\mathcal {D}}$ (lettre ronde) ambiguë, puisque ${\mathcal {D}}_{a}f$ n'est pas une dérivée partielle ;
• $\mathrm {d} f(a)$ dans la variation $\mathrm {d} f(a)\left(h\right)$ : je trouve ce petit $\mathrm {d}$ trompeur, puisque $\mathrm {d} f(a)$ n'est pas une différentielle infinitésimale ; ce sont $\mathrm {D} f(a)\left(h\right)$ et $({\mathcal {D}}_{a}f,u)$ (par exemple) qui peuvent être (des variations) infinitésimales, si les vecteurs h et u sont infinitésimaux.

Alors je propose de remplacer chaque ${\mathcal {D}}_{a}f$ et surtout chaque $\mathrm {d} f(a)$ par $f'\!(a)$ ou par $\mathrm {D} f(a)$ ou par $\mathrm {D} _{a}f.$ Qu'en pensez-vous, SVP ?

Je propose aussi de remplacer chaque $({\mathcal {D}}_{a}f,u)$ par $f'\!(a)\left(u\right)$ ou par $\mathrm {D} f(a)\left(u\right)$ ou par $\mathrm {D} _{a}f\left(u\right),$ qui me semblent + « spontanés », + « naturels ». Qu'en pensez-vous, SVP ?

—2A01:CB00:8BE7:5800:B89B:FA9C:F474:DD3 (discuter) 25 août 2023 à 02:41 (CEST)

Comme c'est moi qui suis à l'origine de l'introduction de la notation $f'(a)$ dans cet article j'aurais du vérifier avant la notation utilisée , j'aurais préféré que d'autres personnes donnent leurs avis. Concernant la notation, plus que nos préférences personnelles, ce sont les sources qu'il faudrait regarder. Mes sources sont un peu anciennes et spécialisées maths. La notion est transversale, il faudrait regarder quelle est la notation la plus utilisée dans les sources récentes.

Il faudrait aussi peut-être uniformiser la notation du gradient dans l'article car on y trouve des flèches, pas de flèche, pas de flèche et du gras peu visible, la notation Nabla, et la notation grad. HB (discuter) 25 août 2023 à 19:29 (CEST)

Certes, harmoniser un peu les notations du gradient dans l'article serait préférable ; mais au moins, ces notations du gradient ne me semblent pas trompeuses.

Par contre, la notation $\mathrm {d} f(a)\left(h\right)$ pour une variation me semble vraiment devoir être corrigée, puisque $\mathrm {d} f(a)$ y représentant la dérivée, n'est pas infinitésimale, et $\mathrm {d} f(a)\left(h\right)$ n'est infinitésimale que si h est infinitésimal ; or, petit $\mathrm {d}$ signifie variation infinitésimale.

—2A01:CB00:8BE7:5800:B89B:FA9C:F474:DD3 (discuter) 26 août 2023 à 03:06 (CEST)

Pourquoi devrait-on corriger une notation si elle est utilisée dans des sources notables? Le Dictionnaire des mathématiques modernes de Lucien Chambadal (1969) utilise les notations $\mathrm {d} f_{a}$ ou $\mathrm {d} _{a}f$ pour la différentielle de $f$ en $a$ et note $f'$ l'application $a\mapsto \mathrm {d} _{a}f$. Le bouquin de Claude Deschamps et André Warusfeld, Mathématiques - 2eme années MP, PC, PCSI, coll. J'intègre 2001 p.825 utilise la notation $\mathrm {d} f(a)$ ou $\mathrm {d} f_{a}$ pour la différentielle en $a$ et la notion $\mathrm {d} f$ pour la différentielle de $f$ .

C'est pourquoi, parmi les notations licites utilisées dans l'article, choisir la plus pertinente ne peut s'appuyer que sur les sources pour voir leurs fréquences d'utilisation. HB (discuter) 26 août 2023 à 11:20 (CEST)

Ah... Mes profs n'utilisaient que les notations $f'\!(a)$ et $\mathrm {D} f(a)$ pour les dérivées (donc non-infinitésimales), $\mathrm {D} f(a)\left(h\right)$ pour les variations non-infinitésimales, et $\mathrm {d} f={\vec {\nabla }}f\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$ pour les différentielles infinitésimales (en physique). J'étais donc privilégié, sans le savoir.

Les autres notations pour la dérivée sont probablement sourçables aussi. Alors je propose d'ajouter des notations (sourcées) pour la dérivée dans la section Notation de l'article, puis d'homogénéiser les notations pour le gradient et pour la dérivée dans le reste de l'article. Qu'en pensez-vous, SVP ?

—2A01:CB00:8BE7:5800:B89B:FA9C:F474:DD3 (discuter) 26 août 2023 à 19:25 (CEST)

—2A01:CB00:8BE7:5800:B89B:FA9C:F474:DD3 (discuter) 27 août 2023 à 15:06 (CEST)

Pour moi, je suis d'accord avec cette proposition et pour éviter tout guerre type chicon vs endive, je te laisse choisir l’harmonisation que tu souhaites. En cas d'avis divergent avec d'autres contributeurs il faudra arbitrer en fonction de la proportionnalité dans les sources. HB (discuter) 27 août 2023 à 16:59 (CEST)

Dans l'article, j'ai homogénéisé (plusieurs notations de gradients vers $\nabla f(a)$, et) plusieurs notations de dérivées vers Df(a), car c'est sans indice (donc facilement utilisable sans TeX), car c'est presque comme df(a) (qui est malheureusement utilisée dans plusieurs articles de Wikipédia), et car je croyais que c'est celle utilisée par Henri Cartan dans son livre Calcul différentiel. Mais avant de remplacer par Df(a) dans l'article les dernières notations comportant un indice, j'ai vérifié (tardivement) : en fait, Cartan utilise la notation f'(a). 😛

Alors quelqu'un connaîtrait-il·elle une source reconnue utilisant la notation Df(a), SVP ?

—2A01:CB00:8BE7:5800:B89B:FA9C:F474:DD3 (discuter) 1 septembre 2023 à 18:36 (CEST)

Chaperon M - Calcul differentiel et calcul integral 3e annee. Cours et exercices avec solutions - Dunod (2008) utilise Df(a) pour la différentielle (application linéaire tangente), mais ils mettent f'(a) en parenthèses comme autre notation.

Mon avis :

- citer dans l'article

- mettre en note en bas de page, ou dans le texte, les notations alternatives avec sources

- j'ai une préférence pour f'(a) que je trouve moins lourde que Df(a), mais je n'ai pas un recul de dingue

En tout cas, merci. Je pense que le plus important est que ça soit uniforme dans tout l'article. Fschwarzentruber (discuter) 1 septembre 2023 à 21:37 (CEST)

Ce que je vais te dire va plutôt compliquer la donne: Hprepa math Analyse (1ere année MPSI) 1998, p. 232 utilise bien la notation $Df(a)$ pour la forme linéaire mais ne note pas $Df(a)(h)$, la valeur de la différentielle en a appliquée au vecteur h, il la note $D_{\vec {h}}f(a)$. Rudin utilise $f'(a)$. HB (discuter) 27 août 2023 à 19:25 (CEST)

Merci à tous les deux pour vos réponses.

(Apparemment, HB n'avait pas signé sa (dernière) réponse, alors celle de Fschwarzentruber a été insérée au-dessus de celle de HB.)

L'idée est de mettre dans la section Gradient#Notation plusieurs notations possibles, et de les sourcer dans cette section par des appels de notes de bas de page.

Je n'ai pas beaucoup de recul non plus, mais la notation $D_{\vec {h}}f(a)$ me semble trompeuse, car elle signifie aussi la dérivée directionnelle (de f) suivant le vecteur ${\vec {h}}$ (en a).

Je veux bien remplacer chaque Df(a) par f'(a), mais pour la valeur de la différentielle de f en a appliquée au vecteur h, Cartan utilise la notation f'(a)·h ; dans le cas où h est aussi une fonction, ce «·» signifie forcément la composition : f'(a)○h ; mais en contexte de gradient, ce «·» peut être mal compris : comme étant un produit scalaire...

Alors comment Rudin et Chaperon M - Calcul différentiel et calcul intégral 3e année. Cours et exercices avec solutions - Dunod (2008) notent-ils la valeur de la différentielle de f en a appliquée au vecteur h, SVP ?

—2A01:CB00:8BE7:5800:B89B:FA9C:F474:DD3 (discuter) 2 septembre 2023 à 00:17 (CEST)

Merci d'avoir réorganisé les échanges et ajouté ma signature.

Rudin (VF) p; 163 écrire T'(x)h pour la valeur de la différentielle de T au point x appliquée à h (sans point ni parenthèse).

Lelong-Ferrand Arnaudies (T2) p. 182 note cette valeur $f'(a)\cdot u$ en indiquant « ce sont les notations de la théorie des opérateurs linéaires ». Mais pour ma part, je n'ai pas l'impresion que ces notations soient vraiment universelles. HB (discuter) 2 septembre 2023 à 15:29 (CEST)

À HB :

(J'avais effectivement ajouté ta signature (très facilement imitable 😉) avec la date et l'heure, mais je ne réorganise pas vos deux réponses, car elles me semblent indépendantes l'une de l'autre.)

Merci pour ta nouvelle réponse ; attendons celle de Fschwarzentruber pour déterminer « solennellement » les notations de l'article. Je les copierai-collerai aussi dans Analyse vectorielle#Opérateur différentiel gradient et dans Dérivée directionnelle#Dérivée directionnelle suivant un vecteur.

—2A01:CB00:8BE7:5800:AC94:6F0D:493:6C36 (discuter) 2 septembre 2023 à 17:32 (CEST)

Relations vectorielles

En avril 2023 j'ai mis une alerte demandant des sources sur cette section et signalant qu'une formule n'était pas claire car indiquait une variable t jamais introduite. Aujourd'hui, mon alerte sur la clarté a été supprimée avec pour argument qu'il était évident que l'on parlait d'un champ qui est supposé C2 par rapport au temps et aux variables spatiales et citant la propriété de Schwartz.

Je trouve pour ma part que l'implicite n'a pas lieu d'être sur WP et qu'il faudrait, ou bien indiquer qu'il s'agit d' un champ dépendant du temps et des variables spatiales (restrictif comme notion) ou bien généraliser en indiquant la formule pour n'importe quelle variable $x_{i}$ de la fonction

Mais je n'interviendrai pas car j'ai en plus des doutes sur la formulation « de classe C² par rapport à chaque paramètre ».

• Formulation que l'on pourrait tout à fait lire comme «Pour tout $i$, si on ne fait varier que le paramètre $x_{i}$ en laissant les autres paramètres constants, on obtient une fonction de classe C²». Au quel cas, il est évident que cela ne suffit pas pour appliquer le théorème de Schwarz

Je suppose donc qu'il faut la lire comme «de classe C²» (tout court)...(pour une def. voir par ex. ici

Mais pour appliquer Schwartz, la classe C² n'est pas nécessaire : il suffit que f soit deux fois dérivable. Donc il faudrait corriger mais judicieusement. Sans source, je ne peux pas faire. Je laisse la main à d'autres contributeurs surveillant l'article. HB (discuter) 7 décembre 2023 à 17:13 (CET)