Utilisateur:Saippuakauppias/Fréchet

La dérivée totale (ou dérivée au sens de Fréchet) existe et est égale au gradient de f en a ($\mathbf {\nabla f(a)}$) si $\lim _{h\to 0}{{f(\mathbf {a+h} )-f(\mathbf {a} )-\langle \mathbf {\nabla f(\mathbf {a} )} ,\mathbf {h} \rangle } \over \|\mathbf {h} \|}=0$.

Idée

$f(\mathbf {a+h} )=f(\mathbf {a} )+\langle \mathbf {\nabla f(\mathbf {a} )} ,\mathbf {h} \rangle +r(\mathbf {h} )$

Par exemple en R², $f(a+h)$, où h est une nombre très petit, est égale à la somme de:

• $f(a)$
• $g(h)$ où $g(x)={\frac {df}{dx}}(a)*x$ (droite avec pente de la tangente en $(a,f(a))\,$)
• reste $r(h)$ qui dépend que de h

Alors $r(\mathbf {h} )=f(\mathbf {a+h} )-f(\mathbf {a} )-\langle \mathbf {\nabla f(\mathbf {a} )} ,\mathbf {h} \rangle$

Voir aussi

• Gradient