Discussion:Dodécaèdre régulier

Fusion entre Dodécaèdre régulier et Dodécaèdre

Discussion transférée depuis Wikipédia:Pages à fusionner
Ces deux pages sont en doublon. Le contenu de « dodécaèdre régulier » me semble être parfait pour insertion dans « dodécaèdre », lequel est déjà plus complet sur le même sujet. SGC.Alex (d) 10 mai 2011 à 22:51 (CEST)

Pour Dans la mesure où c'est déjà fait, on est plutôt dans le cadre d'une PàS. Lanredec (d) 11 mai 2011 à 08:56 (CEST)

Pour également, à ceci près qu'un dodécaèdre ne présente à ma connaissance que très peu d'intérêt en dehors du cas régulier. Je serais même favorable au renommage de l'actuel article « Dodécaèdre » en « Dodécaèdre régulier ». Ambigraphe, le 11 mai 2011 à 21:38 (CEST)

Pour mais plutôt sous le nom Dodécaèdre. Kertraon (d) 19 mai 2011 à 12:20 (CEST)

À part le fait qu'il a douze faces, qu'y a-t-il à dire sur le dodécaèdre en toute généralité ? Ambigraphe, le 19 mai 2011 à 22:05 (CEST)

Quel que soit le choix final il faut sans doute conserver l'autre titre comme Redirect. Lanredec (d) 20 mai 2011 à 15:21 (CEST)

• Il y a la section "Autres dodécaèdres remarquables" (3) comportant entre autres le Dodécaèdre rhombique ; il faudrait ajouter à ces trois-là le grand dodécaèdre, et peut-être évoquer les stellations des dodécaèdres, comme le "Petit dodécaèdre étoilé".
• Mais c'est vrai qu'on peut aussi plutôt faire un article Dodécaèdre  qui soit en fait une page d'homonymie, aiguillant vers les différents articles, dont le Dodécaèdre régulier. À la réflexion, c'est peut-être le mieux. Kertraon (d) 20 mai 2011 à 16:18 (CEST)

Pour la solution d'une page d'homonymie. Lanredec (d) 20 mai 2011 à 16:37 (CEST)

Nous sommes d'accord. Ambigraphe, le 21 mai 2011 à 13:07 (CEST)

Pour la solution d'une page d'homonymie. Theon (d) 22 mai 2011 à 09:23 (CEST)

OK aussi pour une page d'homonymie ; même si c'est de l'enculage de mouches dans ce genre de sujets pas très polémiques, il me semble que le dodécaèdre régulier est de loin le sujet dominant : je pense donc qu'il conviendrait plutôt de titrer Dodécaèdre la page sur le dodécaèdre régulier, et Dodécaèdre (homonymie) la page d'homonymie. Mais ça n'a à peu près aucune importance. Touriste (d) 22 mai 2011 à 09:36 (CEST)

Bon voilà, j'ai juste mis une redirection à Dodécaèdre... --Nouill 21 juin 2011 à 20:08 (CEST)

Chapeau

Il  existe  trois  étoilements  réguliers  d’un  dodécaèdre  de  Platon,
chacun a douze faces soit convexes,  soit étoilées.  L’enveloppe convexe d’un tel
polyèdre étoilé,  ébauchée deux fois dans l’image,  est un nouveau dodécaèdre de Platon
à  gauche,   ou  bien  son  dual  à  droite.   D’autres  constructions  sont  donc  possibles,
par exemple dans un plan parallèle à deux faces opposées d’un dodécaèdre de Platon,
cinq  diagonales  égales  dessinent  une  face  d’un  grand  dodécaèdre  étoilé.

Voici un extrait de l’article actuel “Stellation”,  en 1 ^ère section.
Il étoila ainsi le dodécaèdre pour obtenir deux des polyèdres étoilés réguliers (deux des quatre solides de Kepler‑Poinsot).  Oui,  il existe des dodécaèdres réguliers qui ne sont pas convexes.  Cet article‑ci n’est pas titré “Dodécaèdre de Platon”,  comme le laisse entendre son actuelle introduction,  et son adjectif “convexe” entre parenthèses,  et sa 1 ^ère image.  Insérer en tête d’article la présente image et sa légende ferait un début de chapeau correct.  Et nous pourrions commencer à corriger l’introduction,  et l’article.
  Arthur Baelde (discussion) 22 août 2023 à 15:12 (CEST)
  Arthur Baelde (discussion) 14 septembre 2023 à 14:46 (CEST)

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Paire de cubes

Seules quatre faces du dodécaèdre sur douze sont visibles dans deux des projections.  La paire de cubes
est l’une des cinq paires associées à ce solide de Platon.  Le plus petit cube a ses douze arêtes à la surface
du  polyèdre,   les  faces  du  plus  grand  contiennent  chacune  une  arête  du  dodécaèdre,   en  rouge.

Douze diagonales de faces d’un dodécaèdre de Platon,  une par face,  peuvent constituer les douze arêtes d’un cube,  qui est contenu dans le dodécaèdre.  À partir de ce cube,  on en obtient quatre autres par quatre rotations successives d’un cinquième de tour dans le même sens,  autour de l’axe de deux faces opposées du dodécaèdre.  Dessiner les arêtes des cinq cubes à la surface du dodécaèdre est une mauvaise idée,  l’image PNG est confuse dans la section actuelle “Symétries”.  Voici donc pour la remplacer une image SVG plus claire et plus instructive.
  Arthur Baelde (discussion) 17 octobre 2023 à 17:41 (CEST)

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M’enfin le temps passe,  et toujours dans le même sens.  Enfin nous remontons dans cette page,  comme prévu.  Seule une image 4 était annoncée,  finalement je propose en numéro 5 ma version améliorée de l’image ci‑dessus.  Et l’image numérotée 4 ne montre qu’un seul cube.  D’une image à l’autre,  le petit cube est différent.  Dans la rubrique proposée “Paires de cubes”,  j’invite les visiteurs à observer,  interpréter,  imaginer,  voir… 

Comme annoncé,  les arêtes et les faces visibles ont les mêmes couleurs que dans la précédente rubrique “Patrons et premières projections”,  à l’exception délibérée des arêtes bleues.  En principe,  six arêtes sur trente sont bleues,  deux à deux parallèles à quatre arêtes d’un cube ou l’autre.  Mais parfois certaines arêtes bleues ne sont pas représentées…  L’image 4 montre un cube et un dodécaèdre de même sphère circonscrite,  dont l’expression du diamètre,  avec √3,  devrait d’emblée évoquer le théorème de Pythagore dans une partie du public.  Assez peu de visiteurs,  sans doute,  entreront dans l’histoire des angles de somme θ.  D’ailleurs mon texte n’en dira rien.  La dernière paire de vues de l’image 5 rappelle les projections présentées l’une au‑dessus de l’autre par l’image 3,  sans pointillés,  où θ  n’est pas encore l’inclinaison d’un cube.

En premier lieu,  ma description invite à un examen attentif des dessins,  et une création mentale d’une figure ou une autre dans l’espace.  Voici les images et le texte proposés.

Image 4.   Sur  quinze  paires,   trois  paires  d’arêtes  opposées  du
dodécaèdre  sont  bleues.   Chacune  des  trois  est  parallèle  à  quatre
arêtes  du  cube.   Les  deux  solides  ont  la  même  sphère  circonscrite.

Comme les précédentes 2 et 3,  les images 4 et 5 au début et en fin de rubrique montrent une figure de dimension 3,  projetée orthogonalement sur des plans.  Et la figure peut changer d’orientation.  Elle a pivoté autour de la verticale Δ ₁  par exemple,  entre la première vue et les suivantes de l’image 4,  d’une part sous l’œil immobile qui est au zénith,  d’autre part sous un regard d’une direction immuable :  la direction horizontale des projections en élévation.

Les deux premières vues de dessus de l’image 5 sont identiques,  à une rotation près autour du centre du dessin,  qui est l’image de la verticale Δ ₁  dans les deux projections.  La rotation autour de Δ ₁  est différente dans l’image 4,  mais on peut construire la première élévation de la même façon,  point par point.  Partant d’un point précis de la première vue de dessus de l’image 5,  par exemple à partir de l’image du point T  de l’espace,  vu de dessus,  la verticale de rappel ascendante est tracée.  Et l’horizontale de rappel est tracée vers la gauche,  qui part de l’image de T  en deuxième élévation.  Verticale et horizontale de rappel se coupent en l’image voulue de T,  dans l’élévation en cours de construction.  Supprimée de l’image 4,  une vue de dessus analogue a permis de vérifier la qualité du dessin,  au fur et à mesure des calculs et du codage de l’image en SVG.  Les deux dernières vues en élévation de l’image 5 elles aussi sont identiques,  à un déplacement près :  une rotation autour du point image de l’horizontale Δ ₂,  devenue perpendiculaire au plan des projections en élévation.  Cette seconde rotation transforme le dodécaèdre de diagonale verticale en un solide dont deux faces sont horizontales.  Son dessin canonique de quatre faces sur douze possède alors un contour avec deux segments horizontaux,  comme dans l’image 3 en première élévation.

Sauf exception,  la symétrie par rapport à un point C  d’une figure de l’espace,  dans une projection sur un plan,  ne se traduit pas par l’invariance du dessin dans une rotation de 180 ^o autour de l’image de C,  à moins de confondre en imagination traits pleins et pointillés.  Les deux axes de symétrie,  perpendiculaires au centre d’un dessin canonique de quatre faces sur douze,  peuvent représenter deux médiatrices communes à deux arêtes opposées du contour du dodécaèdre.  Ces deux droites,  perpendiculaires dans l’espace,  et sécantes au centre C  du dodécaèdre,  sont les axes de deux rotations d’un demi‑tour dans l’espace,  qui transforment en lui‑même notre solide de quinze fois deux arêtes.  Donc ce solide possède au moins quinze symétries d’un demi‑tour.  En fait,  il y en a quinze exactement.  Dans l’espace,  l’axe de symétrie d’un demi‑tour perpendiculaire en C  aux deux précédents,  se projette au centre du dessin canonique,  tel que l’axe Δ ₂  dans les dernières élévations de l’image 5.  Dans une image,  on vérifie une symétrie ou une autre en oubliant délibérément les couleurs qui remplissent les pentagones.

Les deux axes de symétrie perpendiculaires au centre d’un dessin canonique de dodécaèdre,  peuvent aussi représenter deux de ses plans de symétrie,  perpendiculaires l’un de l’autre,  et perpendiculaires chacun au plan de la projection.  Ce plan de projection est parallèle à un troisième plan de symétrie :  le plan médiateur d’une paire d’arêtes opposées du dodécaèdre.  Ce plan de symétrie contient une autre paire d’arêtes opposées.  Trois plans de symétrie du dodécaèdre,  perpendiculaires deux à deux,  sont associés à trois paires d’arêtes opposées bleues des images de la rubrique.

Les soixante diagonales de faces pentagonales,  toutes égales,  sont parallèles chacune à deux arêtes opposées du dodécaèdre.  Une arête grise est devenue bleue dans la rubrique,  quand elle est parallèle à quatre arêtes d’un cube dessiné dans l’image.  Un trait relativement fin,  plein ou pointillé,  trace une diagonale de pentagone.  Et douze diagonales,  une par face pentagonale,  constituent les arêtes d’un cube,  qui partage avec le dodécaèdre ses huit sommets,  son centre,  et sa sphère circonscrite.  Tout dessiner ne serait pas présentable.  Imaginez par exemple un pointillé de l’image 4,  qui serait symétrique d’un gros trait bleu par rapport au centre de la seconde élévation.  Ce pointillé bleu est omis délibérément,  car une telle arête se projette soit sur le contour gris du dodécaèdre,  soit derrière une arête grise tracée depuis un sommet du cube,  dont l’image est proche du centre du dessin,  jusqu’à l’extrêmité d’un gros trait bleu du contour,  en haut à droite du dessin.

Effaçons Δ ₁  de notre esprit,  le temps d’imaginer tracé un axe de symétrie oblique du premier dessin de l’image 4,  qui représenterait un plan de symétrie oblique,  contenant deux arêtes opposées en gros traits bleus,  l’une en trait plein vraiment épais,  l’autre en pointillé bleu.  Plan de symétrie perpendiculaire au plan de cette première projection.  Plan de symétrie de la figure complète,  donc un plan de symétrie du dodécaèdre,  abstraction faite des couleurs de ses faces,  bien sûr.  Nous pouvions déjà imaginer un tel triplet de plans de symétrie,  perpendiculaires deux à deux,  dans le dessin canonique de l’image 3 en première élévation.

Deux diagonales communes au dodécaèdre et au cube de l’image 4,  sont les deux diagonales non rapetissées du contour du cube en première élévation :  un rectangle semblable à un format A2,  A3 ou A4.  Cette section rectangulaire du cube contient deux arêtes opposées,  l’une est derrière le dodécaèdre en pointillé.  Ces deux arêtes opposées du cube,  ainsi que deux arêtes opposées bleues du dodécaèdre,  ont le même plan médiateur que deux autres arêtes du cube projetées sur un seul segment :  encore un plan de symétrie.  La verticale Δ ₁  est l’intersection de trois plans de symétrie verticaux du dodécaèdre,  dont aucun n’est un plan de symétrie du cube de l’image 4.  Par contre,  non représenté dans l’image 5,  le plan perpendiculaire en C  à l’horizontale Δ ₂  est un plan de symétrie de la figure en entier.  Tous les plans de symétrie d’un dodécaèdre de Platon passent par son centre.  Leur nombre est quinze :  la moitié de son nombre d’arêtes.

Les arêtes du cube de l’image 4,  égales dans l’espace et de même pente,  sont douze segments égaux vus de dessus.  Six d’entre eux dessinent un contour classique du cube :  un hexagone régulier.  Traits pleins et pointillés alternent le long du contour hexagonal.  Les autres arêtes vues de dessus sont six rayons du contour régulier,  dont trois en pointillés.

Le théorème de Pythagore permet d’exprimer la longueur d’une diagonale du cube en fonction de d,  la longueur de ses arêtes,  ou de celle des arêtes du dodécaèdre :  d’abord la longueur d’une diagonale d’une face carrée avec racine de deux,  puis celle d’une diagonale du cube,  ou d’une section rectangulaire du cube contenant deux arêtes opposées.  Cette longueur s’exprime avec racine carrée de trois,  inscrite ainsi que √2 dans l’image 4,  où deux longueurs de diagonales de faces carrées sont en ''vraie grandeur'' en première élévation,  ainsi que deux diagonales du cube :  deux diamètres de la sphère circonscrite.

L’axe commun à deux faces opposées pentagonales leur est perpendiculaire en leurs centres.  Autour d’un tel axe,  des rotations de 72 ^o  transforment un premier cube,  ayant toutes ses arêtes à la surface du dodécaèdre,  en d’autres cubes de même propriété.  Car de telles rotations d’un cinquième de tour laissent invariant le dodécaèdre.  Répétée cinq fois,  une telle rotation revient au premier cube.  Ainsi sont associés au dodécaèdre cinq cubes différents,  dont chaque arête est sur une face pentagonale.  En répartissant les arêtes de chaque cube en trois groupes de quatre de même plan médiateur,  cinq fois trois font les quinze plans de symétrie du dodécaèdre.

Le dodécaèdre est globalement inchangé par une rotation de 120 ^o,  dans un sens ou dans l’autre,  autour d’une diagonale passant par son centre.  “Symétrie de rotation” manifeste dans l’image 4 en vue de dessus,  autour de l’axe vertical Δ ₁,  bien sûr en oubliant les couleurs des pentagones.  Le nombre de sommets du dodécaèdre est dix fois deux,  Δ ₁  est l’un de ses dix axes de symétrie d’un tiers de tour.

Image 5.   L’une des cinq paires de cubes associées au  dodécaèdre.   Le  grand  cube  a  des  faces
absolument  transparentes,   chacune  contient  une  arête  bleue  du  dodécaèdre,
parallèle  à  quatre  arêtes  d’un  cube  ou  l’autre.

[…]

  Arthur Baelde (discussion) 28 janvier 2024 à 12:40 (CET)

Remanier

Répétition comique,  j’avais déjà lu “homothétique” au sujet de deux polyèdres duaux,  le même adjectif farfelu sous le même titre “Propriétés diverses”.  Ici aussi j’envisage de supprimer la section bizarre,  ainsi que la soit‑disant “démonstration” de la symétrie centrale du dodécaèdre de Platon.  Son texte amovible par un clic nous invite à deviner des présupposés costauds…

Juste après la section “Grandeurs caractéristiques”,  et au même niveau du plan,  la section proposée “Patrons et premières projections” commenterait les deux images ici présentes,  qu’elle afficherait après l’ancien patron animé,  appelé image 1 en légende.  Numéroter les trois images de la section permet de s’y référer facilement.  Plus loin,  le titre “Toutes les symétries” vaudrait mieux que “Symétries” tout court,  puisque la nouvelle section parlerait aussi des premières symétries examinées.  Elle mentionnerait finalement la dualité entre dodécaèdre et icosaèdre de Platon,  déjà signalée en légende de l’illustration de l’article.  La répéter ailleurs serait peut‑être lassant.  Voici des extraits de cette nouvelle section.

Une vasque,  posée sur son patron horizontal,  le cache en partie dans la vue de dessus.  Le patron se plie dans l’espace pour former les six faces de la vasque.  Les cinq plis sont les côtés du pentagone central :  le fond de la vasque.  Le pliage transforme cinq paires de sommets du patron en cinq extrêmités d’arêtes obliques,  marquées d’un disque brun.  Par exemple il transforme la paire P₁  et P₂  en un point,  nommé P  seulement en élévation.   Les cinq autres sommets du bord dentelé de la vasque sont marqués en bleu.  La face grise cache le point C en vue de face de l’image 2,  son nom C  est estompé en gris.  Une règle de géométrie descriptive voudrait que la partie cachée des arêtes soit en pointillés.  Pas de pointillés non plus dans l’image 3,   mais ils seront tracés dans certains dessins ultérieurs.

Image 2.
De  la  même  couleur  à  l’intérieur de  la  vasque  vue  de  dessus,
et  à  l’extérieur en  vue de  face,   une  face  oblique  contient  en  vert
un  côté  du  décagone  horizontal  de  centre  C.   Décagone  vu
de  dessus  non  déformé,   et  en  entier  à  l’intérieur de  la  vasque.

a désigne la longueur des arêtes de la vasque,  ou des côtés de ses faces :  six pentagones réguliers convexes.  L’étoilement du fond de la vasque est aussi un pentagone régulier.  Sur son cercle circonscrit,  ses sommets sont cinq sommets du patron.  Une droite en pointillé représente un axe de rotation,  invariant lors du pliage.  Prolongeant un pli du patron,  le pointillé passe par deux sommets de l’étoilement,  des points  fixes  lors du pliage tels que F ou K.  Sur la droite (FK ),  position initiale des droites (FL ) et (KN ) avant le pliage,  les sommets du patron P₁ et P₂ se déplacent lors des rotations,  chacun dans un plan vertical perpendiculaire à l’axe de rotation.  Une autre sorte de pointillé représente l’un des deux plans verticaux.  Finalement,  ces deux sommets P₁ et P₂ se rejoignent en un seul sommet de la vasque,  nommé P seulement en vue de face.  Le plan de symétrie vertical des trois faces concernées contient l’arête oblique,  qui joint P au fond de la vasque,  ainsi que l’axe vertical du fond,  qui passe par C.

Sur la droite oblique (KP ),  le point N  sort du cadre de l’image 2 en vue de face.  Par contre N  est nommé dans les trois vues de l’image 3.  Sa position est analogue à celle de S  ou L,  car la figure est invariante par une ou plusieurs rotations d’un cinquième de tour,  dans un sens ou dans l’autre autour de l’axe vertical de la vasque.  Les points bleus sont les sommets d’un pentagone régulier horizontal,  comme les sommets inférieurs du bord dentelé de la vasque,  marqués de disques bruns.  La projection verticale ne déforme ni l’un,  ni l’autre pentagone régulier.  Les côtés du pentagone aux sommets bruns sont les diagonales horizontales des cinq faces obliques de la vasque,  de longueur $\;\varphi \,a\;$  où  $\;\varphi =2\cos 36^{\,\circ }\;$ est le nombre d’or.  On démontre qu’en vue de dessus,  les sommets bleus se projettent aux centres des cinq faces périphériques du patron,  et que les deux pentagones réguliers horizontaux sont de même taille,  autrement dit isométriques.

Le bord dentelé de la vasque a dix segments,  égaux et de même pente.  Leurs projections verticales égales forment le contour de la vasque :  un décagone régulier.  Le bord dentelé sont deux à deux symétriques par rapport au point C de l’axe vertical de la vasque,  équidistant des plans horizontaux des pentagones réguliers.  Les dix segments du bord dentelé sont deux à deux symétriques par rapport à C,  ainsi que leurs milieux :  les sommets d’un décagone régulier horizontal,  tracé en vert dans l’image 2.

La vasque en entier ayant le même bord que sa symétrique par rapport à C,  est une moitié d’un dodécaèdre.  Son centre de symétrie C  est sur l’axe de n’importe quelle paire de faces opposées du solide.  […]

Image 3.     Avec  deux  faces  horizontales,   le  dodécaèdre
vu  de  dessus  a  un  contour  décagonal  régulier.   Ainsi  orienté,
il  montre  quatre  faces  sur  douze  en  élévation  frontale.

[…]

Les cinq sommets de l’étoilement horizontal du fond de la vasque,  plus leurs symétriques par rapport à C  tels que  L,  S  ou N,  appartiennent aux cinq axes obliques du solide,  perpendiculaires à deux faces opposées.  Ajoutons‑leur deux points invisibles dans les dessins,  de part et d’autre de C  sur l’axe vertical du solide,  à la même distance de C  que les dix précédents.  Nous obtenons les douze sommets d’un étoilement du dodécaèdre de Platon :  un grand dodécaèdre ou un petit dodécaèdre étoilé,  ou leur enveloppe convexe commune :  un icosaèdre de Platon dual de notre solide,  dont la vasque possède une moitié des faces.

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Au sujet de l’harmonisation de l’ensemble des figures et des écrits,  les lettres  a  des images 2 et 3 ont la même forme que dans le texte,  parce que dans la même police de caractères  "Liberation Serif",  utilisée par défaut dans Commons  — police utilisée quand elle n’est pas spécifiée dans le code —.  Ma lettre grecque θ  en "Liberation Sans",  dans le code SVG de mes images,  est un peu plus lisible que le  θ  du code wiki ordinaire,  car un peu plus bombée.  Voici trois codes possibles de cette lettre,  et leurs rendus dans Wikipédia.

1. <math>\theta</math> —> $\theta$
2. ''θ'' —> θ
3. <span style="font-family:Liberation Sans;font-style:italic;font-size:120%">θ</span> —> θ

Des caractères très ressemblants,  qu’en dites‑vous ?

Les angles de l’image 3 marqués chacun de trois arcs,  ont une mesure  θ  inférieure à 36°.  Deux angles marqués chacun de deux arcs mesurent 36°,  grandeur non inscrite dans cette image 3.  Ces 36° sont écrits dans l’image aux deux cubes,  et le seront aussi dans la prochaine version de cette image,  bientôt proposée plus haut,  avec le même gris des arêtes,  qui rendra plus facile le repérage des faces de mêmes couleurs qu’ici,  pour les faces visibles.  Un angle θ  indiquera l’inclinaison des deux cubes dans la dernière vue de face.  Actuellement en chantier,  cette nouvelle version SVG serait insérée dans une section “Paires de cubes”,  venant juste après “Patrons et premières projections” proposée plus haut.
  Arthur Baelde (discussion) 8 décembre 2023 à 15:11 (CET)
  Arthur Baelde (discussion) 13 décembre 2023 à 14:07 (CET)

Plus d’un mois plus tard,  une section proposée “Paires de cubes” est là.
  Arthur Baelde (discussion) 30 janvier 2024 à 15:11 (CET)

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Sections régulières

Image  6.   Dix  ou  six  sections  équatoriales  régulières  isométriques.   Chaque  ensemble
de  sections  dessine  sur  chaque  face  pentagonale  un  pentagone  régulier,   au  total
douze  pentagones  multicolores,   tous  étoilés  ou  bien  tous  convexes.
Ils  ont  soixante  côtés  au  total :     12 × 5 = 6 × 10 = 10 × 6   côtés.

À  la  suite  de  “Paires de cubes”  pourrait  figurer
l’image  ci‑contre,   au  début  d’une  rubrique   “Sections régulières”. 
Le  texte  ressemblerait  à  ceci.

L’image 6 exhibe des sections planes dites équatoriales,  qui passent par le centre du polyèdre convexe.  Régulière,  chaque section passe par les milieux de dix ou six arêtes.  Hexagonale,  une telle section est perpendiculaire à un axe de symétrie d’un tiers de tour,  joignant deux sommets opposés du solide.  Perpendiculaire à un tel axe et passant par le centre du solide,  une section plane qui coupe exactement trois arêtes est un triangle,  invariant dans cette rotation d’un tiers de tour.  Ce triangle appartient à une infinité de sections triangulaires semblables dans des plans parallèles :  des triangles équilatéraux.

Les cinq petits cubes de la précécente rubrique ont chacun six faces carrées,  qui font au total trente sections carrées.  Le plan de chaque section carrée est à la fois parallèle à une paire d’arêtes opposées du dodécaèdre,  et perpendiculaire à deux autres de ses quinze paires d’arêtes opposées.

Dans l’image 6,  les soixante côtés des sections décagonales sont les arêtes d’un icosidodécaèdre.  Chaque section décagonale est parallèle à deux faces opposées,  et perpendiculaire à un axe de symétrie d’un cinquième de tour du solide.  Carrés et triangles équilatéraux ne sont pas les seules sections régulières non équatoriales.  Régulières aussi sont les douze sections parallèles à deux faces opposées du solide,  passant chacune par cinq sommets du polyèdre,  invariantes dans des symétries d’un cinquième de tour.  L’une d’elles est l’image d’une face pentagonale par l’homothétie de centre S  et de rapport φ.  Le point S  est le sommet d’une pyramide dont les faces triangulaires,  cinq triangles d’or,  prolongent cinq faces pentagonales telles que les faces obliques d’une vasque.  Et la base de la pyramide :  la face pentagonale qui jouxte les cinq précédentes,  est transformée en une infinité de sections pentagonales régulières du solide par une infinité d’homothéties.  Leurs rapports sont dans l’intervalle  ]1, φ].  Leurs centres,  tels que S,  sont les sommets d’un icosaèdre de Platon,  déjà commenté.

[…]

Des dessins beaucoup plus nombreux,  qui répondraient à cette volumineuse harmonie
de sections régulières,  pourraient empêcher certains esprits de travailler.   Paver  par
des  triangles  d’or  des  faces  du  dodécaèdre  peut  dessiner  sur  ces  pentagones
les  côtés  d’autres  sections  hexagonales  régulières,   non  équatoriales.   Je  propose
de  clore  la  rubrique  “Sections  régulières”  par  l’image  suivante.

Image  7.   Ces  pavages  par  des  triangles  d’or  dessinent  les  côtés  de  sections
hexagonales régulières du dodécaèdre,  non équatoriales.   Si  une  similitude  multiplie
par  5  l’aire  d’un  tel  pavage  triangulaire,   alors  nous  pouvons  exprimer  le  nombre  d'or
en  fonction  de  racine  carrée  de  cinq,   qui  est  le  rapport  de  cette  similitude.

  Arthur Baelde (discussion) 19 mars 2024 à 15:02 (CET)

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