Discussion:Convergence uniforme

A propos de la convergence uniforme sur tout compact

oui peps, on a très envie de rajouter l'hyp localement compact pour l'espace de départ et puis en rédigeant je me suis aperçu qu'on pouvait s'en passer (du moins quand l'espace de départ est métrique) : comme une suite + sa limite est un compact, la cv uniforme sur tout compact préserve la continuité séquentielle ! cela étant dit, on rentre dans le pinaillage : autant laisser ta correction 4 décembre 2006 à 16:28 (CET) Jaclaf 4 décembre 2006 à 16:37 (CET)

diantre tu as parfaitement raison, 10^3 excuses ! mais du coup je m'interroge sur l'énoncé le plus clair. Il faudrait peut être séparer la théorie, en reprenant ta formulation en termes de compacts, et la pratique, qui consiste en général à travailler sur des boules fermées, qu'elles soient compactes ou non. Ou alors est-il utile de parler de compacts tout court puisque en fin de compte, seules comptent les boules ? Peps 4 décembre 2006 à 22:11 (CET)

j'ai réécrit le paragraphe en tenant compte de cette distinction. En fait il faut distinguer a) les hypothèses qui permettent d'avoir une fonction limite continue, assez laches finalement b) celles qui permettent d'avoir une distance ou une norme définissant la convergence on a une norme quand X est compact une distance pour la cv uniforme sur tout compact, quand X est loc compact et dénombrable à l'infini

l'intéret d'une distance, c'est de pouvoir appliquer des techniques type Baire (cf séries de Fourier) ça doit bien exister mais je ne connais pas d'ex de telles techniques dans le cas de la cv sur tout compact

Sur l'ensemble de départ

• Cela me gène que la definition de la convergence uniforme fasse apparaitre l'espace de départ commun à toute ces fonctions ($A$ ou $X$) comme étant nécessairement un espace topologique, alors qu'une topologie sur l'espace de départ est strictement inutile à la définition de la notion de convergence uniforme: par exemple si l'espace d'arrivée est métrique, la définition (1) de la convergence uniforme peut se reécrire

$\lim _{n}\ \ \sup\{d(f_{n}(x),f(x))\,|\,x\in A\}=0,$

où l'on se contente de prendre un sup sur l'espace de départ (il n'est point besoin de topologie pour cela), et d'utiliser seulement la distance (la topologie et un peu plus) de l'espace d'arrivée. Cette erreur se repercute ensuite dans d'autres articles comme celui sur le théorème de Dini.--Chassain (d) 12 mai 2008 à 00:40 (CEST)

• à ce propos ne faudrait il pas ajouter que lorsque l'espace d'arrivée $Y$ est métrique ou bien normé, on peut munir l'espace des fonctions de $A$ dans $Y$ d'une distance ou d'une norme (norme infinie) telle que la convergence uniforme des fonctions de $A$ dans $Y$ est précisément la convergence des fonctions pour cette norme ou pour cette distance infinie. On pourrait alors renvoyer à l'article Norme (mathématiques)#En dimension infinie, où la norme infinie est évoquée.
  • Sur l'ensemble de départ, effectivement la définition ne nécessite aucune condition sur l'ensemble de départ (Laurent Schwartz part d'un ensemble quelconque). On peut donc supprimer cette condition. En revanche il faut alors être très prudent sur les conditions de l'ensemble de départ concernant les propriétés.
  • En revanche, sur l'ensemble des fonction de A vers Y (normé) qui pourrait être muni d'une norme, là , ma maitrise de la notion est lointaine mais j'ai quelque doute : Laurent Schwartz précise que si A n'est pas dénombrable, Y^A n'est pas métrisable en général. Mais, je ne suis sûre de rien et demande au Thé. HB (d) 22 juillet 2008 à 09:29 (CEST)

Pas besoin de topologie dans l'espace de départ pour définir la convergence uniforme des fonctions :il suffit de disposer d'une distance sur l'espace d'arrivée, et si on veut être très général, on peut encore travailler avec un espace d'arrivée muni d'entourages, c'est à dire de la structure non métrique qui remplace la distance. Voir les entourages dans Bourbaki, Topologie, vraisemblablement le tome 2 (je ne l'ai pas sous la main).

Si A est un espace infini, et si V est l'ensemble des applications bornées de A dans un espace vectoriel Y normé de dimension au moins égale à 1, V, muni de la norme du sup, ne peut être séparable. En d'autres termes, il n'existe pas de famille dénombrable dense dans V. Il suffit pour montrer cette assertion d'exhiber une famille non dénombrable de fonctions telles que deux membres distincts quelconques de cette famille soit à distance au moins d>0. Explicitement, on choisit une partie B infinie et dénombrable de A, on appelle v un élément non nul de V, et f_E la fonction qui vaut v sur la partie E de A et 0 partout ailleurs. Si E et E' sont deux parties distinctes de B,

$f_{E}(a)-f_{E'}(a)={\begin{cases}0&{\text{si}}\quad a\in E\cap E'{\text{ou }}a\notin E\cup E',\\v&{\text{si}}\quad a\in E\setminus E',\\-v&{\text{si}}\quad a\in E'\setminus E.\end{cases}}$

Par conséquent la norme du sup de f_E-f_E' est égale à la norme de v. Comme il y a un ensemble non dénombrable de parties de l'ensemble des entierss naturels, on conclut bien que V ne peut être séparable.

La non séparabilité de la plupart des espaces normés par la norme du sup a tout un tas de conséquence en analyse, qui font des espaces en norme infinie des espaces réputés méchants. Ma fréquentation personnelle de ces espaces confirme qu'ils sont vraiment méchants.--Sylvie Martin (d) 22 juillet 2008 à 11:15 (CEST)

je suis en DESACCORD COMPLET avec ce qui est écrit dans ce paragraphe. La convergence uniforme ça sert à démontrer des propriétés de la fonction limite, la continuité par ex ... A quoi bon une déf très générale s'il n'y a pas de résultats significatifs derrière.

Ce qui est dit concerne (plus ou moins) l'espace $l^{\infty }(X)$ c'est un autre sujet. Jaclaf (d) 7 janvier 2010 à 13:23 (CET)

c'est vrai, mais en même temps un débutant malin comprend facilement qu'une topologie sur l'espace de départ ne sert à rien, juste en lisant la définition. S'il manque de confiance en lui, c'est là qu'il est pommé, du genre "c'est clair pour moi que la topologie ne sert à rien sur l'espace de départ, et pourtant ils en demandent une, ça doit être que je comprend rien au maths ...". J'espère avoir paré aux deux problèmes en rajoutant une note de bas de page à la va vite. J'espère ne pas avoir rajouté à la confusion. Mais pour moi, des deux risques : 1. une intro fausse qui décrédibilise la page entière en demandant de la topologie là où il n'y en a pas besoin, 2. le fait que c'est surtout à des espaces de départ topologiques qu'on va avoir affaire dans les applis, alors ne compliquons pas, je préfère éviter le premier des deux risques, et faire confiance à l'intelligence des lecteurs ce qui devrait limiter le deuxième inconvénient. On pourra toujours clarifier encore et encore, un peu plus tard.--Chassaing 19 janvier 2010 à 15:11 (CET)

A propos du critère de Cauchy uniforme

Il me semble que les explications de ce paragraphe sont erronées, en particulier, la dernière ligne : $\forall p\geq N,\forall x\in A,\exists q_{x}\in \mathbb {N} \quad d(f_{p}(x),f(x))\leq d(f_{p}(x),f_{q_{x}}(x))+d(f_{q_{x}}(x),f(x))<\varepsilon$ (qui d'ailleurs me semble correcte par rapport à ce qui est fait précédemment) ne montre que la convergence simple de la suite, et en aucun cas la convergence simple entraine la convergence uniforme, d'où (sauf erreur de ma part) ma remarque.

Non, la démonstration me semble correcte. Regarde les quantificateurs : pour tout epsilon, il existe N tel pour tout p plus grand que N et pour tout x de A, $d(f_{p}(x),f(x))\leq \varepsilon$. L'existence d'un indice q_x n'est qu'une étape de calcul qui montre qu'une convergence simple associée à un critère de Cauchy uniforme induit une convergence uniforme. En revanche, il me semble qu'il manqe une précision sur le fait que q_x doit être pris plus grand que N, je le rajoute donc. HB (d) 14 juillet 2009 à 15:10 (CEST)

Que de critères !

beaucoup de ces critères se ramènent facilement les uns aux autres. Il faudrait regrouper tout ça Jaclaf (d) 9 septembre 2009 à 10:06 (CEST)

cela ne m'apparaît pas aussi évident que vous le pensez. Par exemple $\sum {\frac {x}{x+n}}\times {\frac {1}{\sqrt {n}}}$ sur R+. Aucun des critères ne fonctionne sauf le dernier (prendre an(x)=1/racine(n), les bn(x) étant majorés par 1).(sottise). Et je suis personnellement convaincu qu'il existe pour chacun d'eux des cas où le critère s'applique sans que les autres s'appliquent.Claudeh5 (d) 9 septembre 2009 à 11:50 (CEST)

Mais il est peut-être préférable de créer un nouvel article spécifique sur ces critères avec des exemples pour chaque...Claudeh5 (d) 9 septembre 2009 à 11:58 (CEST)

justement ce dernier critère est très suspect prenons $a_{n}=\sin nx$, $b_{n}$ n'importe quelle suite tendant vers zéro, cela voudrait dire que $\sum _{n}b_{n}\sin nx$ converge uniformément dès que $b_{n}$ tend vers zéro, aïe ! Jaclaf (d) 9 septembre 2009 à 15:38 (CEST)

oui, vous avez raison. J'ai relu le passage dans l'édition anglaise et j'ai mélangé deux énoncés (plus exactement j'ai ajouté involontairement une somme là où elle n'était pas. Mais du coup, le critère obtenu est trivial. Je l'ai donc enlevé.Claudeh5 (d) 9 septembre 2009 à 16:19 (CEST)

je maintiens que ces critères se ramènent facilement les uns aux autres. De plus, ils concernent les séries, et leurs sont spécifiques. Je pense qu'il faudrait transférer ce qui concerne les séries dans un article à part, ce qui permettrait au passage de clarifier la distinction subtile (et spécifique aux séries) entre convergence uniforme et convergence normale (je n'aime pas cette terminologie piégée, mais elle existe et il faut faire avec) Jaclaf (d) 9 septembre 2009 à 16:50 (CEST)

qu'ils se ramènent facilement les uns aux autres, peut-être (j'en doute fortement), mais la question n'est pas de savoir si on peut ramener la règle de convergence des séries de Bertrand à celle de Cauchy ou que le critère de D'Alembert est inclus dans un autre, il s'agit de questions pratiques.

je trouve cet article trop fouilli

D'une part, cet article tape très certainement trop haut dès l'entrée en matière, en se lançant tout de suite dans des considérations topologiques qui ne devraient apparaître qu'après coup comme une généralisation. D'autre part, on ne comprend pas trop les choix de théorèmes qui sont effectués. Pourquoi le théorème sur les intégrales et pas celui de la dérivation ? ...Le public visé par cet article est clairement, non l'étudiant en licence de math ou maitrise qui a déjà travaillé cette question mais l'étudiant de DEUG dont le bagage topologique est limité. Sinon, on renvoie au traité de topologie générale de Bourbaki.Claudeh5 (d) 9 septembre 2009 à 22:39 (CEST)

tout à fait d'accord il faut commencer avec les fonctions sur un intervalle de R th sur les intégrales : à faire avant parce qu'il est plus facile que celui sur la dérivation (qui se démontre d'ailleurs à partir de celui sur les intégrales) par contre le dessin est à garder Jaclaf (d) 11 septembre 2009 à 20:56 (CEST)

Avec le recul

je suis de plus en plus convaincu que cet article est à refondre. Il n'est pas utilisable tel que. Il faut a) démarrer par le cas simple des fonctions réelles d'une variable réelle b) mettre tout ce qui concerne les séries dans un autre article Jaclaf (d) 19 décembre 2010 à 22:06 (CET)

Interversion limite/dérivée

Je ne trouve nulle part sur WP de théorème de ce genre. Anne (d) 3 juin 2013 à 20:33 (CEST)

C'est-à-dire ? Je ne vois quel genre de résultat tu cherches. Du style

$\lim f_{n}'(a)=(\lim f_{n})'(a)$ ?

Si c'est le cas, c'est un manque indéniable. Kelam (mmh ? o_ô) 3 juin 2013 à 21:02 (CEST)

Oui. Anne 21:14