Ouvrir le menu principal

En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur d'un K-espace vectoriel, dans une base donnée, sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires. Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K, les composantes forment un élément de l'espace vectoriel Kn.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Sommaire

DéfinitionModifier

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit   une base de E.

Alors pour tout vecteur   de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à   :

 

c'est-à-dire que les scalaires    sont déterminés de façon unique par   et  .

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de   dans la base   ou relativement à la base  , sont par définition la famille  . Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice :

 .

La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de   dans la base  .

Cette matrice est parfois notée  ,   ou encore  .

Pour  , le scalaire   est appelé la  -ème composante — ou  -ème coordonnée — du vecteur   dans la base  .

Application composantesModifier

Le mécanisme précédent, qui à un vecteur   de E qui fait correspondre ses composantes dans la base  , peut être décrit par l'application  , définie par

 

  appartiennent à   et vérifient  

Alors   est une application linéaire de E dans Kn.

C'est même un isomorphisme : sa réciproque   est définie par

 

Il est aussi possible de commencer par définir cette application  , de constater que c'est un isomorphisme, puis de définir   comme l'isomorphisme réciproque.

ExemplesModifier

Exemple 1Modifier

Soit   l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Cet espace est engendré par

 

et la famille   est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes, dans cette base, du polynôme

 

s'écrit  

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation  , qui à   associe  , est représenté par la matrice

 

En utilisant cette représentation, il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur, comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre / ses valeurs propres, etc.

Exemple 2Modifier

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.

RéférenceModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coordinate vector » (voir la liste des auteurs).