Bout (topologie)

En mathématiques, un bout d'un espace topologique est de manière informelle une « composante connexe à l'infini » de cet espace. Dans les bons cas, ajouter un point pour chaque bout induit une compactification de dimension nulle de l'espace, on parle de compactification par les bouts ou Endenkompaktifiezierung en allemand, ou encore end compactification en anglais.

Un bout d'un groupe topologique est une classe d'équivalence de bouts de l'espace topologique sous-jacent pour une relation d'équivalence liée à l'action du groupe.

HistoriqueModifier

C'est le mathématicien Hans Freudenthal qui est à l'origine de la théorie des bouts d'un espace topologique. En 1931 il définit ainsi les bouts d'un espace topologique localement compact (séparé), connexe et localement connexe comme étant (les classes d'équivalence de) certaines suites décroissantes d'ouverts connexes[1]. En 1942 il élargit cette notion en retirant les conditions de connexité sur l'espace ; un bout est alors une base de filtre constituée d'ouverts de bord compact et maximale pour certaines propriétés[2]. En 1945 il étudie les bouts d'espaces qu'il qualifie de "discrets" (une notion différente de celle d'espace topologique discret utilisée aujourd'hui) et en particulier des groupes (discrets) finiment engendrés : un bout d'un tel groupe est alors un bout de son graphe de Cayley[3]. Heinz Hopf[4], Ernst Specker[5], John R. Stallings[6], Peter Scott et Terry Wall[7] entre autres vont démontrer d'autres résultats concernant les bouts d'espaces topologiques et de groupes topologiques finiment engendrés, en particulier donner des conditions pour qu'un groupe ait plus qu'un ou deux bouts.

Dans le contexte précédent se donner un filtre maximal est équivalent à se donner un idéal premier d'une certaine sous-algèbre de Boole   de l'algèbre des parties de l'espace   considéré. En considérant toutes les sous-algèbres de Boole de  , Herbert Abels classifie en 1974 toutes les « compactifications de dimension nulle » d'un espace topologique localement compact, la compactification par les bouts est la « plus grande » de ces compactifications[8]. Les mêmes idées appliquées à la sous-algèbre   des parties « compactement quasi-invariantes » d'un groupe topologique   localement compact lui permettent alors de généraliser la notion de bout à un groupe topologique. La compactification par les bouts d'un tel groupe est alors la plus grande compactification de dimension nulle admettant des « bonnes » actions du groupe  , c'est un quotient de la compactification par les bouts de l'espace topologique sous-jacent.

Il est intéressant de remarquer qu'à un groupe topologique sont attachées deux notions différentes de bouts : les bouts de l'espace topologique sous-jacent et les bouts du groupe topologique. Ces deux notions coïncident si et seulement si le groupe est connexe[8].

Première définitionModifier

Soit   un espace topologique localement compact (séparé), connexe et localement connexe.

On considère la famille des suites décroissantes   d'ouverts connexes non compacts, de bord compact et telles que  , sur laquelle on définit une relation d'équivalence comme suit :   si   .

Les classes d'équivalence pour cette relation sont les bouts de l'espace, on note   l'ensemble des bouts de  [1].

En décrétant ouvertes les parties   satisfaisant :   est ouvert dans  , et pour tout   (dont la classe d'équivalence est) dans   il existe   tel que  , on obtient une topologie sur  .

L'espace topologique   ainsi obtenu est une compactification de  , appelée compactification par les bouts de  . L'espace des bouts   est totalement discontinu et compact, donc de dimension nulle.

Définition alternative plus intuitiveModifier

Michael Spivak propose la définition et l'exercice suivants[9],[10] :

Soit   un espace topologique. Un bout de   est une application   qui à chaque sous-ensemble compact   associe une composante connexe de   de sorte que   . On note   l'ensemble des bouts de   et on définit une topologie sur   comme suit :   est un ouvert et une base de voisinages d'un bout   est donnée par la famille des   pour   compact.

Montrer que lorsque   est localement compact, connexe et localement connexe, l'espace   est compact.

L'application naturelle   est injective, montrer que les deux définitions coïncident revient alors à montrer que c'est un homéomorphisme.

Cette définition de bout d'un espace topologique correspond bien à la notion intuitive de « composante connexe à l'infini ».

Compactifications de dimension nulleModifier

Soit   un espace topologique localement compact (et séparé).

Une compactification de dimension nulle de   est une compactification   de   telle que le bord   est totalement discontinu. Deux compactifications de dimension nulle sont dites équivalentes si l'application identité de   s'étend en un homéomorphisme entre ces compactifications.

Par ailleurs, notons   la famille des parties   dont le bord   est compact, c'est une algèbre de Boole pour les opérations différence symétrique et intersection. La famille   des parties de   d'adhérence compacte est un idéal de  .

Il existe alors une bijection explicite associant à chaque classe d'équivalence de compactifications de dimension nulle de   une sous-algèbre de Boole de   contenant  [8]. Dans cette bijection, une inclusion d'algèbres   induit une application   (entre les compactifications correspondantes) qui est continue, surjective, et qui étend l'identité de   .

En particulier, la compactification par les bouts  de   est la compactification correspondant à l'algèbre  , elle vérifie la propriété universelle suivante : pour toute compactification de dimension nulle  de   il existe une unique application   continue, surjective, et qui étend l'identité de  . L'espace des bouts de   est alors le bord  .

Compactifications de SpeckerModifier

Soit   un groupe topologique localement compact (et séparé).

Une compactification de Specker  de   est une compactification de dimension nulle de (l'espace topologique)   satisfaisant les deux propriétés suivantes :

  • pour tout  , la multiplication par   à gauche   s'étend en une application   continue,
  • l'application   est continue (dit autrement, étendre toutes les multiplications à droite par l'identité au bord donne une application globale continue).

Notons alors   la famille des parties compactes non vides de   et   (où   désigne la différence symétrique entre parties de  ). La famille   est une sous-algèbre de Boole de   contenant  , de plus l'action naturelle à droite de   sur son algèbre des parties laisse   invariante (i.e.  ).

La bijection du paragraphe précédent induit alors par restriction une bijection entre les classes d'équivalence de compactifications de Specker de   et les sous-algèbres de Boole de   contenant   et invariantes par l'action de   à droite[8].

En particulier, la compactification de Specker   correspondant à   est universelle au sens suivant : pour toute compactification de Specker  de   il existe une unique application   continue, surjective,  -équivariante et qui étend l'identité de  . L'espace des bouts du groupe topologique   est alors le bord  .

Propriétés et exemplesModifier

  • L'ensemble des bouts d'un espace topologique est vide si et seulement si l'espace est compact.
  • La droite réelle   et le groupe discret   ont exactement deux bouts.
  • En fait, un groupe localement compact et compactement engendré a deux bouts si et seulement si il est quasi-isométrique[11] à   (ou  ), ce qui est aussi équivalent au fait que le groupe est hyperbolique et que son bord a deux points.
  • Lorsque G est un groupe localement compact et finiment (ou compactement) engendré, les bouts de G sont exactement les bouts de l'un de ses graphes de Cayley.
  • Pour   l'espace euclidien   et le groupe abélien libre   ont exactement un bout.
  • Pour   le graphe de Cayley du groupe libre à   générateurs   est l'arbre (infini) de degré constant   et l'espace des bouts du groupe discret  est un ensemble de Cantor.
  • Les bouts d'un groupe localement compact G coïncident avec les bouts de l'espace topologique sous-jacent G si et seulement si G est connexe[8].
  • Un groupe localement compact, non compact et compactement engendré possède 1, 2 ou une infinité de bouts[8].
  • Le théorème de Stallings (en) sur la structure des groupes dit qu'un groupe discret de type fini possède plus que deux bouts si et seulement si il admet une certaine[Laquelle ?] décomposition.

Bouts de graphesModifier

Voir l' article détaillé End (graph theory) (en)

RéférencesModifier

  1. a et b (de) Hans Freudenthal, « Über die Enden topologischer Räume und Gruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 33,‎ , p. 692–713 (ISSN 0025-5874 et 1432-1823, DOI 10.1007/BF01174375, lire en ligne, consulté le 26 février 2016)
  2. (de) H. Freudenthal, « Neuaufbau der Endentheorie », Annals of Mathematics (2),‎ , p. 261-279 (ISSN 0003-486X)
  3. (de) H. Freudenthal, « Über die Enden diskreter Raüme und Gruppen », Comment. Math. Helv., no 17,‎ , p. 1-38 (ISSN 0010-2571)
  4. (de) H. Hopf, « Enden offener Raüme und unendliche diskontinuierliche Gruppen », Comment. Math. Helv., no 16,‎ , p. 81-100 (ISSN 0010-2571)
  5. (de) E. Specker, « Endenverbände von Raümen und Gruppen », Math. Ann., no 122,‎ , p. 167-174 (ISSN 0025-5831)
  6. (en) John Stallings, Group theory and three-dimensional manifolds, , 65 p. (ISBN 0-300-01397-3)
  7. (en) P. Scott et T. Wall, « Topological methods in group theory », London Math. Soc. Lecture Note Ser., no 36,‎ , p. 137-203
  8. a b c d e et f (de) H. Abels, « Specker-Kompaktifizierungen von lokal kompakten topologischen Gruppen », Math. Z., no 135,‎ , p. 325-361 (ISSN 0025-5874)
  9. (en) M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 1, Publish or Perish, , 3e éd. (lire en ligne), p. 23, Problem 19.
  10. (en) « Ends of topological spaces. Why independent of choice of ascending sequence of compact subsets? », sur MathOverflow, .
  11. Une application   entre espaces métriques est quasi-isométrique s'il existe deux constantes   et   telles que  . C'est une quasi-isométrie si son image est cobornée, c'est-à-dire s'il existe une constante   telle que :  . Deux espace métriques sont quasi-isométriques s'il existe une quasi-isométrie entre les deux.