Théorème de Stallings

Le théorème de Stallings est un théorème de la théorie des groupes des groupes qui caractérise les groupes à plusieurs bouts. Il en résulte une caractérisation des groupes libres par leur dimension cohomologique, parfois aussi appelée théorème de Stallings ou théorème de Stallings-Swan.

John Stallings et Richard Swan ont reçu le prix Frank-Nelson-Cole d'algèbre pour ces résultats.

Théorème de Stallings sur les bouts de groupes modifier

Pour un groupe de type fini   soit   le nombre de bouts du graphe de Cayley de   ; ce nombre est indépendant du choix du système générateur utilisé pour construire le graphe de Cayley. D'après un théorème de Freudenthal[1], on a   ou  .

Théorème de Stallings sur les bouts de groupes — On a   si et seulement si   est un produit libre amalgamé non trivial   de deux groupes de type fini sur un groupe fini ou une extension HNN non triviale   d'un groupe de type fini par un groupe fini[2],[3].

En particulier, on a   pour les groupes de type fini sans torsion exactement quand   un produit libre   de deux sous-groupes non triviaux.

Théorème de Stallings-Swan de caractérisation des groupes libres modifier

Il découle du théorème de Stallings qu'un groupe de type fini est libre si et seulement si sa dimension cohomologique est  .

Une forme plus générale a été démontrée par Swan[4] :

Théorème de Stallings-Swan — Soit   un anneau unitaire et   un groupe sans torsion. Alors   est libre si et seulement si  .

Ce théorème ne nécessite pas l'hypothèse que   est de type fini. La condition d'être sans torsion est toujours satisfaite pour les groupes quand  .

Une autre conséquence est qu'un groupe sans torsion contenant un sous-groupe libre d'indice fini est lui-même libre.

Développements modifier

Plusieurs autres preuves du théorème de Stallings ont été données après la preuve originale de Stallings. Ainsi, Dunwoody a donné une preuve[5] basée sur les idées de coupes d'arêtes. Ultérieurement, Dunwoody a donné une preuve du théorème de Stallings pour les groupes finiment présentés en utilisant une méthode dite des « pistes » sur les 2-complexes finis[6]. Graham A. Niblo a obtenu une preuve géométrique[7] du théorème de Stallings comme une conséquence d'une version relative de CAT(0)-cubing de Sageev. Mikhaïl Gromov a esquissé une preuve[8] dans sa présentation des groupes hyperboliques, où l'argument des surfaces minimales est remplacé par un argument plus facile d'analyse harmonique et cette approche a été poussée plus loin par Kapovich[9].

Notes et références modifier

Bibliographie modifier

  • John Stallings, « On torsion-free groups with infinitely many ends », Annals of Mathematics (2), vol. 88,‎ , p. 312–334.
  • John Stallings, Group theory and three-dimensional manifolds : A James K. Whittemore Lecture in Mathematics given at Yale University, Yale University Press, coll. « Yale Mathematical Monographs, 4 », .
  • Richard Swan, « Groups of cohomological dimension one », J. Algebra, vol. 12,‎ , p. 585–610.
  • Daniel Cohen, Groups of cohomological dimension one, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 245), .
  • Martin Dunwoody, « Accessibility and groups of cohomological dimension one », Proc. London Math. Soc. (3), vol. 38, no 2,‎ , p. 193–215
  • Martin Dunwoody, « Cutting up graphs », Combinatorica, vol. 2, no 1,‎ , p. 15-23 (DOI 10.1007/BF02579278)
  • Martin Dunwoody, « The accessibility of finitely presented groups », Invent. Math., vol. 81, no 3,‎ , p. 449–457
  • Mikhaïl Gromov, « Hyperbolic Groups », dans G. M. Gersten (éditeur), Essays in group theory, New York, Springer, coll. « Math. Sci. Res. Inst. Publ. » (no 8), , p. 75-263
  • Graham Niblo, « A geometric proof of Stallings' theorem on groups with more than one end », Geom. Dedicata, vol. 105,‎ , p. 61–76 (DOI 10.1023/B:GEOM.0000024780.73453.e4)
  • Michail Kapovich, « Energy of harmonic functions and Gromov's proof of Stallings' theorem », Georgian Math. J., vol. 105, no 3,‎ , p. 281–296 (arXiv 0707.4231)
  • Reinhard Diestel, « The end structure of a graph: recent results and open problems », Discrete Mathematics, vol. 100, nos 1–3,‎ , p. 313–327 (DOI 10.1016/0012-365X(92)90650-5, MR 1172358).
  • Reinhard Diestel et Daniela Kühn, « Graph-theoretical versus topological ends of graphs », Journal of Combinatorial Theory, series B, vol. 87, no 1,‎ , p. 197–206 (DOI 10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888).
  • Hans Freudenthal, « Über die Enden topologischer Räume und Gruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 33,‎ , p. 692–713 (DOI 10.1007/BF01174375).
  • Hans Freudenthal, « Über die Enden diskreter Räume und Gruppen », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 17,‎ , p. 1–38 (DOI 10.1007/bf02566233, MR 0012214).