Degré (mathématiques)

De manière générale, un degré indique une quantité définie qui s'ajoute ou qui caractérise de façon discontinue un phénomène :

  • on parle des degrés d'une échelle pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d'une quantité donnée à chaque pas) ;
  • on parle du degré d'un séisme pour désigner son intensité.

En relation avec ce concept décrivant le monde physique, les mathématiciens ont baptisé degré certaines caractéristiques d'objets issus de domaines très divers : algèbre, topologie, théorie des graphes, statistique

Degré en algèbreModifier

Degré d'un polynômeModifier

À une indéterminéeModifier

Soit   un anneau. L'anneau des polynômes à une indéterminée sur   est  , soit   un polynôme à coefficients dans  .

Le degré de  , noté   ou   est défini par :

  • Si  ,  
  • Sinon, pour  , on définit :  

Par exemple,  

En plusieurs indéterminéesModifier

Soient   un anneau et  . L'anneau des polynômes à   indéterminées sur   est  

Le degré du polynôme nul est toujours  .

Sinon on considère l'ensemble des « sommes des exposants des indéterminées » dans chaque terme. Le degré du polynôme est alors le plus grand élément de cet ensemble.

Par exemple : dans  

Degré d'une fraction rationnelleModifier

Soit   un anneau commutatif, unitaire, intègre. Le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur   est  . Soit  . Il existe   et   tel que  .

La grandeur   est indépendante du représentant   choisi pour  .

On définit alors  , noté   ou  .

Propriétés du degréModifier

  •  
  • Si   est intègre,  

Degré en théorie des graphesModifier

En théorie des graphes, le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes issues de ce sommet.

On parle aussi du degré minimal d'un graphe et de son degré maximal. Quand le graphe est régulier, on peut parler du degré du graphe.

Degré en topologieModifier

Le degré d'une application continue entre variétés de même dimension est une généralisation de la notion d'enroulement d'un cercle sur lui-même. C'est un invariant homologique à valeurs entières positives.

Voir aussiModifier