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Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

Hypothèses préalablesModifier

Supposons que le milieu soit linéaire, homogène et isotrope (L.H.I.). Dans ce cas :

  et  

  désigne la perméabilité magnétique et   est la permittivité diélectrique.

Supposons également que ces deux coefficients et la densité de charge électrique   ne dépendent pas des variables spatiales (ni temporelles).

Formulation des relationsModifier

Exprimées à l’aide du champ électrique   et du champ magnétique  , les équations dites de Maxwell dans les milieux continus prennent la forme locale suivante :

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Équation relative au champ électrique EModifier

Pour éliminer le champ magnétique   entre les relations 1 et 3, il s’agit d’appliquer le rotationnel à la première et de dériver la troisième par rapport au temps. À l’aide des hypothèses et grâce au théorème de Schwarz permettant de permuter les opérateurs différentiels spatiaux et temporels, il vient alors

 

L’identité des opérateurs vectoriels   conduit ensuite à la relation

 

et la relation 4 implique finalement

 

Équation relative au champ magnétique HModifier

Par un traitement semblable, en appliquant le rotationnel à la relation 3 et en dérivant la première par rapport au temps, il vient

 

Application à divers milieuxModifier

Dans les isolants ou dans le videModifier

La densité de courant est nulle et la densité de charge est constante. Ainsi :

 
 

qui sont deux équations de d'Alembert dont les ondes se propagent à la vitesse   définie par  .

Dans le vide (  et  ), la vitesse de phase est celle de la lumière puisque  .

Le découplage entre champs magnétique et électrique dans ces deux dernières équations n’est qu’apparent : les deux champs restent en effet liés par les équations de Maxwell (relations 1 et 3 ci-dessus).

SolutionsModifier

Les équations de d’Alembert possèdent comme solutions des ondes planes harmoniques : partant d’une pulsation   et d’un vecteur d'onde   de norme notée  , la fonction scalaire

 

permet de définir des champs

 
 

qui sont solutions lorsque  

Les équations de Maxwell imposent par ailleurs l’orthogonalité des 3 vecteurs :

 

et le rapport des carrés des normes des champs satisfait

 

Dans les conducteurs ohmiquesModifier

La loi d'Ohm est la relation phénoménologique liant la densité de courant au champ électrique :

 

  étant la conductivité électrique (qui est l’inverse de la résistivité).

En supposant que la densité de charge reste constante, les équations de propagation s’écrivent alors

 
 

SolutionsModifier

Ces équations possèdent des solutions qui sont des ondes planes amorties, en particulier des ondes harmoniques dont l’amplitude est exponentiellement décroissante : en effet, l’onde s’atténue au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu conducteur.

Partant d’une pulsation  , d’un vecteur d’onde   de norme   et un facteur d’amortissement  , la fonction scalaire

 

est solution de l’équation aux dérivées partielles à condition de respecter deux relations liant respectivement   et   à  .

Comme dans le cas d’un milieu isolant, il existe des choix de champs proportionnels à   qui satisfont les équations de Maxwell : ceux-ci respectent encore l’orthogonalité des 3 vecteurs.

Le rapport des carrés des normes des champs satisfait finalement

 

Articles connexesModifier