Équations des télégraphistes

Les équations des télégraphistes sont un système de deux équations aux dérivées partielles qui décrivent l'évolution de la tension et du courant sur une ligne électrique en fonction de la distance et du temps.

Oliver Heaviside a conçu dans les années 1880 le modèle des lignes électriques qui aboutit à ces équations. Il s'applique à toute ligne électrique et à toute fréquence et couvre les phénomènes de transmission et de réflexion sur une ligne de transmission, qu'elle serve au télégraphe, au téléphone ou à tout autre usage, ainsi qu'aux lignes de distribution du réseau électrique.

ÉquationsModifier

Formulation de baseModifier

 
Schéma des composants élémentaires d'une ligne de transmission.

Une portion infinitésimale de ligne électrique peut être représentée par un quadripole où :

  • la résistance linéique (par unité de longueur)   du conducteur est représentée par une résistance série (exprimée en ohms par unité de longueur) ;
  • l'inductance linéique   est représentée par une bobine (henrys par unité de longueur) ;
  • la capacité linéique   entre les deux conducteurs est représentée par un condensateur C shunt (farads par unité de longueur) ;
  • la conductance linéique   du milieu diélectrique séparant les deux conducteurs (siemens par unité de longueur). Le schéma électrique du modèle représente cette conductance par une résistance parallèle de valeur de   ohms.

La résistance et la conductance croîssent avec la fréquence et l'inductance varie dans de moindres proportions, à cause de l'effet de peau et, dans les lignes bifilaires, de l'effet de proximité[1].

Soient   la tension et   le courant en un point éloigné d'une distance   du début de la ligne à un instant  , on peut écrire deux équations aux dérivées partielles[2]:

 
 

De cette formulation, on peut tirer deux équations ne faisant chacune intervenir qu'une variable :

 
 

Conditions initialesModifier

Ces équations doivent être complétées par la définition de conditions initiales.

On peut ainsi définir la tension à l'extrémité initiale de la ligne comme celle d'une source sinusoïdale

 

et définir une relation entre courant et tension à l'autre extrémité de la ligne située à une distance  

  •   pour une ligne chargée par une résistance  ,
  •   pour une ligne à vide, etc.

Ligne sans perteModifier

Dans beaucoup de cas, on peut négliger les pertes résistives. On pose alors   et  . Les équations s'écrivent :

 
 

On peut les combiner pour former deux équations de propagation, qui sont des équations de d'Alembert :

 
 

Cas du régime sinusoïdalModifier

On considère une tension sinusoïdale complexe   de pulsation   et de vecteur d'onde   se propageant selon l'axe   :

 

La dérivée partielle de   par rapport au temps est alors :

 

De même, la dérivée partielle de  par rapport à   est :

 

Ligne sans pertesModifier

Dans la ligne sans pertes :   et  , la première équation des ondes est

 

La solution générale de cette équation de propagation est la somme d'une onde de tension   se propageant dans les   croissants et d'une autre   se propageant dans le sens des   décroissants :

 

avec

 

Les indices   et   renvoient aux ondes « incidente » et « réfléchie ».

En injectant l'expression des tensions   et   dans cette équation, on obtient :

pour  

En simplifiant par  , on obtient la relation de dispersion suivante :

 

soit

 

Donc pour les ondes incidente et réfléchie, le nombre d'onde est imaginaire pur.

La constante d'atténuation   est nulle et la constante de propagation   et en posant  , l'expression de la tension   est :

 

Puisque la constante d'atténuation   est nulle, la propagation se fait bien sans pertes.

Vitesse de propagation et impédance caractéristiqueModifier

Puisque   se propage dans le sens des x croissants et  , dans le sens des x décroissants alors leur expression est de la forme

 avec  

La vitesse de propagation est la vitesse à laquelle se déplace la phase de l'onde.

D'après l'étude précédente sur les solutions de l'équation des télégraphistes en régime sinusoïdal sans pertes, on a :

 

Par identification, on a :

 

La vitesse de propagation de l'onde incidente et de l'onde réfléchie vaut donc   et comme    .

Ligne à videModifier

RéférencesModifier

  • Bernard Démoulin, Éléments sur la théorie des lignes de transmission : d1322, Techniques de l'ingénieur, (présentation en ligne).
  • Pierre-Gérard Fontolliet, Systèmes de télécommunications : Traité d'électricité, volume XVIII, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, (lire en ligne), p. 71.
  1. Fontolliet 1999, p. 69-70.
  2. Commission électrotechnique internationale, « Théorie des circuits : éléments de circuit et leurs caractéristiques », dans IEC 60050 Vocabulaire électrotechnique international année=2002 (lire en ligne), p. 131-12-86 : Ligne de transmission.

Voir aussiModifier