Équation de Sylvester

En mathématiques, dans le domaine de la théorie du contrôle, une équation de Sylvester est une équation matricielle de la forme :

$AX+XB=C$.

Les matrices $A$, $B$ et $C$ sont données ; le problème est de déterminer les matrices $X$ qui satisfont cette équation. Les matrices sont supposées à coefficients complexes. Les matrices sont de tailles appropriées, par exemple elles sont toutes des matrices carrées de même taille, ou plus généralement, $A$ et $B$ sont des matrices carrées de taille $n$ et $m$ respectivement, et $X$ et $C$ sont à $n$ lignes et $m$ colonnes.

Une équation de Sylvester a une solution unique en $X$ si et seulement si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune. Plus généralement, l'équation $AX+XB=C$ a été considérée comme une équation d'opérateurs bornés dans un espace de Banach (éventuellement de dimension infinie). Dans ce cas, la condition d'unicité d'une solution en $X$ est quasiment la même : il existe une solution unique en $X$ exactement lorsque les spectres de $A$ et de $-B$ sont disjoints.

Existence et unicité des solutions

En utilisant le produit de Kronecker et l'opérateur de vectorisation (en) $\operatorname {vec}$, on peut réécrire l'équation de Sylvester sous la forme

$(I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,$

où $A$ est de taille $(n,n)$, $B$ est de taille $(m,m)$, $X$ de taille $(n,m)$ et $I_{k}$ est la matrice d'identité de taille $k$. Sous cette forme, l'équation peut être vue comme un système linéaire de taille $mn\times mn$.

Théorème — Étant données des matrices $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ et $B\in \mathbb {C} ^{m\times m}$, l'équation de Sylvester :$AX+XB=C$ a une solution unique $X\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ quelle que soit $C\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ si et seulement si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune.

Démonstration

L'équation $AX+XB=C$ est un système linéaire en $mn$ inconnues et autant d'équations. Elle a donc une solution unique pour tout $C$ si et seulement si l'équation homogène $AX+XB=0$ n'admet que la solution triviale $0$ .

(i) Supposons que $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune et soit $X$ une solution de l'équation homogène. Alors $AX=X(-B)$ et par récurrence $A^{k}X=X(-B)^{k}$ pour tout $k\geq 0$. Par conséquent, on a $p(A)X=Xp(-B)$ pour tout polynôme $p$. En particulier, soit $p$ le polynôme caractéristique de $A$ . Alors $p(A)=0$ par le théorème de Cayley-Hamilton ; le théorème spectral donne

$\sigma (p(-B))=p(\sigma (-B))$,

où $\sigma (\cdot )$ désigne le spectre d'une matrice. Si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune, $p(\sigma (-B))$ ne contient pas zéro, et donc $p(-B)$ est non singulier. Ainsi $X=0$ comme annoncé. Cela prouve la partie directe du théorème.

(ii) Supposons maintenant que $A$ et $-B$ partagent une valeur propre $\lambda$ . Soit $u$ un vecteur propre droit associé pour $A$, et $v$ un vecteur propre gauche associé pour $-B$, et soit $X=u{v}^{*}$ . Alors $X\neq 0$, et $AX+XB=A(uv^{*})-(uv^{*})(-B)=\lambda uv^{*}-\lambda uv^{*}=0.$ Ainsi $X$ est une solution non triviale à l'équation homogène, montrant la réciproque du théorème.

La non-singularité de $p(-B)$ dans la partie (i) de la preuve ci-dessus peut également être démontrée par l' identité de Bézout pour des polynômes premiers entre eux. Soit en effet $q$ le polynôme caractéristique de $-B$ . Comme $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune, $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Il existe donc des polynômes $f$ et $g$ tel que $p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1$ . Par le théorème de Cayley-Hamilton, $q(-B)=0$ . Ainsi $p(-B)f(-B)=I$, ce qui implique que $p(-B)$ est non singulier.

Le théorème reste vrai pour les matrices réelles sous réserve de considérer leurs valeurs propres complexes. La preuve de la partie directe est toujours valable ; pour la réciproque, on note que $\mathrm {Re} (uv^{*})$ et $\mathrm {Im} (uv^{*})$ satisfont l'équation homogène $AX+XB=0$, et ils ne peuvent pas être nuls simultanément.

La règle de suppression de Roth

Étant donné deux matrices carrées complexes $A$ et $B$ de taille $n$ et $m$, et une matrice $C$ de taille $(n,m)$, on peut se demander quand les deux matrices carrées suivantes

: ${\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}\,$ et $\,{\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}$

de taille $n+m$ sont semblables. La réponse est que ces deux matrices sont semblables exactement lorsqu'il existe une matrice $X$ telle que $AX-XB=C$, en d'autres termes, si $X$ est une solution d'une équation de Sylvester. Cette observation est appelée la règle de suppression de Roth .

On vérifie facilement une direction : Si $AX-XB=C$ alors

${\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.$

La règle de suppression de Roth ne se généralise pas aux opérateurs bornés de dimension infinie sur un espace de Banach.

Résolutions numériques

Un algorithme classique de résolution numérique de l'équation de Sylvester est l'algorithme de Bartels-Stewart, qui consiste à transformer $A$ et $B$ en forme de Schur par un algorithme QR, puis en résolvant le système triangulaire résultant par substitution. Cet algorithme, dont le coût de calcul est en ${\mathcal {O}}(n^{3})$ opérations arithmétiques, est utilisé, entre autres, par le logiciel LAPACK et la fonction lyap dans GNU Octave. Elle est proche de la fonction sylvester dans cet ensemble. Dans certaines applications spécifiques de traitement d'image , la solution de l'équation de Sylvester dérivée a une forme close.

Articles connexes

• Équation de Liapounov
• Équation de Riccati

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sylvester equation » (voir la liste des auteurs).

Références

• J. Sylvester, « Sur l'equations en matrices $px=xq$ », Comptes rendus de l'académie des sciences, vol. 99, n^o 2,‎ 1884, p. 67–71, 115–116
• R. H. Bartels et G. W. Stewart, « Solution of the matrix equation $AX+XB=C$ », Communications of the ACM, vol. 15, n^o 9,‎ 1972, p. 820–826 (DOI 10.1145/361573.361582, S2CID 12957010)
• R. Bhatia et P. Rosenthal, « How and why to solve the operator equation $AX-XB=Y$ ? », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 29, n^o 1,‎ 1997, p. 1–21 (DOI 10.1112/S0024609396001828)
• S.-G. Lee et Q.-P. Vu, « Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum », Linear Algebra Appl., vol. 435, n^o 9,‎ 2011, p. 2097–2109 (DOI 10.1016/j.laa.2010.09.034)
• Q. Wei, N. Dobigeon et J.-Y. Tourneret, « Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation », IEEE Transactions on Image Processing, vol. 24, n^o 11,‎ 2015, p. 4109–4121 (PMID 26208345, DOI 10.1109/TIP.2015.2458572, Bibcode 2015ITIP...24.4109W, arXiv 1502.03121, S2CID 665111)
• Garrett Birkhoff et Saunders MacLane, A survey of modern algebra, Macmillan, 1965, p. 213-299

Liens externes

• Fonction Mathematica pour résoudre l'équation de Sylvester
• Fonction MATLAB pour résoudre l'équation de Sylvester