Théorie du contrôle

En mathématiques et en ingénierie, la théorie du contrôle a comme objet l'étude du comportement de systèmes dynamiques paramétrés en fonction des trajectoires de leurs paramètres.

Le cadre formelModifier

On se place dans un ensemble, l'espace d'état   sur lequel on définit une dynamique[Quoi ?]. Le déroulement du temps est modélisé par un entier  . La dynamique de l'état du système   ne dépend que de l'état du système à l'état précédent et de la valeur d'un paramètre a priori exogène (le paramètre de contrôle) noté   et qui prend ses valeurs dans un ensemble  .

La dynamique du système est alors totalement définie par une fonction   et un point de départ   ; elle s'écrit:

 

La question principale de la théorie du contrôle est: quel est le comportement de   en fonction de celui de  ?, par exemple peut-on choisir une suite de contrôles   de telle sorte que   vaille  , une valeur cible choisie par ailleurs?.

Le système (D1) qui est discret (le temps ne prend que des valeurs entières) a un équivalent continu (le temps s'écoule continuement), que l'on peut écrire:

 

Dans ce contexte   est la dérivée temporelle de  , il est donc nécessaire de munir   d'une structure donnant accès à la dérivation (par exemple une structure d'espace vectoriel normé).

Quelques exemplesModifier

  • la conduite d'une voiture est un système dynamique contrôlé: le contrôle est l'angle du volant, les pressions exercée sur le frein et sur l'accélérateur, et l'état est la position de la voiture sur la route.
  • le jeu de tennis est un système dynamique contrôlé: le contrôle est ma position sur le court ainsi que la position et le mouvement de ma raquette, et l'état est la position de la balle.
  • le pilotage d'une torpille est aussi un système dynamique contrôlé: le contrôle est la position de ses aillettes, et l'état la position de la torpille.

Ces exemples montrent que l'objectif du contrôle est qualitativement assez naturel. Par exemple pour une voiture, il s'agit de rester sur la route ou de gagner une course, pour le tennis de renvoyer la balle sur le court, et pour la torpille de couler un navire qui se déplace.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier