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En physique du solide l'équation de Boltzmann-Peierls décrit l'évolution de la fonction de distribution des phonons dans un solide cristallin. Elle a été établie par Rudolf Peierls en 1929[1].

L'équation d'évolutionModifier

Les phonons sont des bosons décrits par leur fonction de distribution    est la variable d'espace,   le temps,   le vecteur d'onde et   désigne la polarisation.

L'équation de conservation de n s'écrit pour toute polarisation[2]

 
  •   est le terme dit normal qui provient des processus anharmoniques de la vibration du réseau cristallin et qui conserve la quantité de mouvement,
  •   le terme de diffusion conservant l'énergie mais non la quantité de mouvement, lié à l'interaction du phonon avec une imperfection du réseau cristallin, à une limite physique du milieu (bord de l'échantillon ou joint de grains), à une interaction avec un électron ou au processus umklapp. Ce terme est qualifié de résistif car, à la différence du terme lié au processus normal, il contribue à la résistance thermique de conduction.
  • la vitesse de propagation ou vitesse de groupe   est liée à la pulsation de l'onde   par  .

Termes de diffusionModifier

Il est possible d'écrire les termes de diffusion de manière rigoureuse mais ceci n'a qu'un intérêt modeste dans la mesure où le phénomène intéresse des centres diffuseurs mal connus en géométrie et en nombre. On utilise le plus souvent une approximation du type relaxation

 

  est un temps de relaxation caractéristique du phénomène de diffusion.

Lorsque plusieurs phénomènes se superposent ce temps caractéristique est obtenu en appliquant la règle de Matthiessen

 

Dans cette approximation l'équation de transport s'écrit

 
 
  la température thermodynamique.
  •   est la distribution de Bose-Einstein en repère mobile à la vitesse de dérive   :
 

Au contraire de la distribution de Bose-Einstein cette distribution n'est pas isotrope.

Calcul de la conductivité thermiqueModifier

La conductivité thermique est calculable par résolution de l'équation de transport. Il est possible de donner une solution analytique dans le cas stationnaire et les grandes longueurs d'onde (ondes acoustiques avec   en remplaçant la dérivée de   par celle de   dans le terme d'advection. Cette méthode due à Joseph Callaway[5] est d'usage assez courant.

RéférencesModifier

  1. (de) Rudolf Peierls, « Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen », Annalen der Physik, no 3,‎
  2. (en) J. M. Ziman, Electrons and Phonons, Clarendon Press,
  3. (en) Ingo Muller et Tomasso Ruggieri, Rational Extended Thermodynamics, Springer, (ISBN 978-1-4612-7460-5)
  4. (en) Michael Fryer, The Macroscopic Transport Equations of Phonons in Solids, University of Victoria, (lire en ligne)
  5. (en) Joseph Callaway, « Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperature », Physical Review, vol. 113, no 4,‎