Utilisateur:Touriste/Brouillon2

En théorie de la mesure, une mesure (positive) $\mu$ définie sur la tribu borélienne d'un espace topologique $X$ est dite intérieurement régulière lorsqu'elle vérifie la propriété suivante :

pour tout borélien $A$ ⊂ $X$, $\mu (A)$ = Sup {$\mu (K)$ | $K$ compact contenu dans $A$}.

Variantes et vocabulaire additionnel

D'autres sources supposent la mesure définie sur une tribu contenant la tribu borélienne. Dans cette variante, la quantification continue à porter sur les boréliens $A$ et n'est pas étendue à tous les éléments de la tribu : seule la restriction de la mesure aux boréliens est prise en compte pour vérifier sa régularité extérieure.

Une autre variante est rencontrée dans les contextes où l'attention est centrée sur la tribu de Baire (en). Dans un tel contexte, on désigne par « mesure intérieurement régulière » une mesure définie sur une tribu contenant la tribu de Baire qui vérifie :

pour tout borélien $A$ ⊂ $X$ de la tribu de Baire, $\mu (A)$ = Sup {$\mu (K)$ | $K$ compact de Baire contenu dans $A$}.

(l'expression « compact de Baire » est au premier abord ambiguë, pouvant désigner soit un un compact qui est aussi un G_δ (en), soit un compact appartenant à la tribu de Baire -il y en a a priori davantage. En fait, les deux notions coïncident, mais cela ne se prouve pas sans travail).

D'autres variantes remplacent la tribu par un σ-anneau. Une définition axiomatique abstraite qui s'efforce de synthétiser toutes les variantes possibles est disponible dans l'ouvrage Measure and Integration, de Sterling Berberian.

Par ailleurs, on dit qu'un borélien est intérieurement régulier sous $\mu$ lorsqu'il vérifie la condition d'approximation par les compacts posée dans la définition ci-dessus.

Relations avec la régularité extérieure

Les remarques qui suivent concernent des mesures définies sur des tribus.

Pour une mesure finie sur un espace compact, la régularité intérieure est équivalente à la régularité extérieure, puisque les complémentaires des compacts sont exactement les ouverts.

Pour une mesure finie sur un espace séparé, la régularité intérieure entraîne la régularité extérieure, puisque les complémentaires des compacts sont certains ouverts. La réciproque n'est pas vraie : qu'on pense à un espace discret non dénombrable sur lequel on définit une mesure $\mu$ par $\mu (A)$ = 0 si $A$ est fini ou dénombrable, $\mu (A)$ = + ∞ sinon ; on peut même donner un exemple de mesure de Borel de masse finie sur un espace métrique qui est extérieurement régulière mais pas intérieurement régulière.

Sans hypothèse de finitude, la régularité intérieure n'entraîne pas la régularité extérieure. Un contre-exemple est la mesure de comptage sur ℝ, muni de sa topologie usuelle.

Régularité intérieure par les fermés

Une notion voisine mais bien distincte est celle de régularité intérieure par les fermés, appelée « régularité intérieure » par une minorité d'auteurs.

Une mesure $\mu$ définie sur la tribu borélienne ${\mathcal {B}}$ d'un espace topologique $X$ est dite intérieurement régulière pour les fermés lorsqu'elle vérifie la propriété suivante :

pour tout borélien $A$ ⊂ $X$, $\mu (A)$ = Sup {$\mu (F)$ | $K$ fermé contenu dans $A$}.

Pour une mesure finie, par un argument simple de passage aux complémentaires, la régularité intérieure pour les fermés équivaut à la régularité extérieure.

À trier, recycler, jeter

Généralisation : mesures σ-régulières

Sur un espace localement compact séparé qui n'est pas supposé à base dénombrable, il peut exister des mesures de Borel non régulières.

La généralisation suivante est utile dans ce contexte. Par définition, une mesure $\mu$ est dite σ-régulière (on dit aussi quasi-régulière, ou mesure de Radon extérieure) lorsque d'une part elle est extérieurement régulière et d'autre part elle vérifie la condition de régularité intérieure affaiblie suivante :

pour tout ouvert $O$ ⊂ $X$, $\mu (O)$ = Sup {$\mu (K)$ | $K$ compact contenu dans $O$}

(on ne demande plus l'approximation de tout borélien par un compact, mais on la requiert seulement pour les ouverts).

Une forme du théorème de représentation de Riesz assure que toute forme linéaire positive sur l'espace des fonctions continues à support compact peut être représentée par une mesure de Borel σ-régulière. Ce concept est en conséquence utilisé par certains auteurs comme choix de normalisation dans leur définition d'une mesure de Haar.

Mesures intérieurement régulières par les fermés

La notion de régularité intérieure vis-à-vis des fermés a une définition symétrique de celle de la régularité extérieure. Certains ouvrages la désignent sous le nom de régularité intérieure - mais ce n'est pas la même notion que la régularité intérieure évoquée plus haut dans cet article, qui est la régularité intérieure vis-à-vis des compacts, et on écrira donc systématiquement dans ce qui suit « vis-à-vis des fermés » quand on parle de ce concept.

Soit $\mu$ une mesure (positive) $\mu$ définie sur la tribu borélienne d'un espace topologique $X$.

On dit qu'un borélien $A$ de $X$ est intérieurement régulier vis-à-vis des fermés pour $\mu$ lorsqu'il vérifie :

$\mu (A)$ = Sup {$\mu (F)$ | $O$ fermé contenu dans $A$}.

On dit que $\mu$ est intérieurement régulière vis-à-vis des fermés lorsque tout borélien est intérieurement régulier vis-à-vis des fermés pour $\mu$.