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Constantes, nombres irrationnels et formules d'approximations

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Les nombres irrationnels sont des nombres réels ne pouvant pas s'écrire sous la forme d'une fraction , où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). La constante Pi notée π, la racine carrée de 2 et e la constante de Néper en font partie. Cependant, d'un point de vue pratique, on ne peut utiliser qu'une valeur approximative pour définir une valeur dépendante d'un nombre irrationnel. L'utilisation dans l'architecture, le jardinage, le bricolage, l'art, la couture ou l'artillerie du nombe Pi, de racine de 2 ou du nombre d'or a depuis toujours été tributaire de la précision utilisée. Différentes méthodes ont été inventées pour trouver des fractions approchant leur valeur. Certains nombres irrationnels ne posent pas ce problème tel que la constante de Champernowne puisqu'en l’occurrence elle n'a pas besoin d'être calculée.

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres√2 (voir des démonstrations de son irrationalité).

Constante de Meissel-Mertens

Valeur : 0,2614972614972128476427837554268386086958590516...

Symbole : M

Approximations :

• 5 chiffres significatifs : ${\frac {1399}{1109}}-1=0,26149{\scriptstyle {\text{684403607...}}}$

Racine carrée de 2

Valeur : 1,4142135623730950488...

Symbole : ${\sqrt {2}}$

Approximations :

• 5 chiffres significatifs : $1+{\frac {239}{577}}=1,41421{\scriptstyle {\text{14384748700173310225303293...}}}$
• 8 chiffres significatifs : $19601/13860=1,41421356{\scriptstyle {\text{42135642135642135642136...}}}$ (Méthode de Théon généralisée)

Racine carrée de 3

Valeur : 1,7320508075688772935...

Symbole : ${\sqrt {3}}$

Approximations :

• 4 chiffres significatifs : ${\frac {43*23}{571}}=1,7320{\scriptstyle {\text{49036777583187390...}}}$

Nombre d'Euler ou constante de Néper

Valeur : 2,718281828459045...

Symbole : e

Approximations :

• 4 chiffres significatifs : ${\frac {13*331}{1583}}=2,7182{\scriptstyle {\text{564750473783954516740366...}}}$
• 4 chiffres significatifs : ${\frac {5*467}{859}}=2,7182{\scriptstyle {\text{770663562281722933643771...}}}$
• 4 chiffres significatifs : $1+{\frac {433}{252}}=\sum _{n=0}^{7}{\frac {1}{n!}}=2,7182{\scriptstyle {\text{53968253968253968253968...}}}$ (utilisation de la série d'Euler)

PI

Valeurs : 3,1459265359...

Symbole utilisé : π

Approximations :

• 6 chiffres significatifs : ${\frac {5*71}{113}}=3.141592{\scriptstyle {\text{9203539...}}}$

Liens externes et références

Liens externes

1. L'univers de PI (Approximations et bizarreries sur Pi) : http://www.pi314.net/fr/approx.php