Fraction (mathématiques)

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En mathématiques, une fraction est un moyen d'écrire un nombre rationnel sous la forme d'un quotient de deux entiers. La fraction a/b désigne le quotient de a par b (b≠0). Dans cette fraction, a est appelé le numérateur et b le dénominateur.

Trois quarts de gâteau, un quart ayant été retiré.

Exemple :

La fraction 56/8 est équivalente au nombre 7 car 7 × 8 = 56, donc le quotient de 56 par 8 est 7.

Un nombre que l'on peut représenter par des fractions de nombres entiers est appelé nombre rationnel. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.

Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si $(A,+,\cdot )$ est un anneau intègre, on peut créer le corps des fractions de A. Ses éléments se notent (par analogie aux fractions d'entiers relatifs) ${\frac {a}{b}}$ et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification, ...) que les fractions de ℚ.

Sens usuel de la fraction

Définition d'une fraction

Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d ≠ 0. Elle est représentée comme suit :

$n/d~$ ou ${}^{\textstyle n}\!\!\diagup \!\!{}_{\textstyle d}$ ou ${\frac {n}{d}}$.

• Le nombre du haut, noté n, s'appelle le numérateur.
• Le nombre du bas, noté d, s'appelle le dénominateur.
• Le trait ou barre de fraction ou vinculum signifie que l'on divise le numérateur par le dénominateur.

Exemple : ³⁄₇ signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « trois septièmes ».

• 3 est appelé numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes)
• 7 est appelé dénominateur parce qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on opère.

Si on mange les ³⁄₇ d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts, donc l'unité considérée.

On trouve aussi parfois la notation

n : d

ou encore

n ÷ d

les deux-points ou l'obélus remplaçant la barre de fraction.

Une fraction est dite impropre lorsque la valeur absolue du numérateur est plus grande que celle du dénominateur.

Définitions alternatives

Si la notion de fraction est une étape importante de la compréhension mathématique à un niveau élémentaire, elle n'a guère d'usage dans une théorie générale.

Le Dictionnaire des mathématiques définit la fraction comme « synonyme de nombre rationnel » .

Cette définition présente plusieurs inconvénients. Chacun convient que ³⁄₄ est une fraction, et que ⁶⁄₈ est une autre fraction, qui désigne cependant le même nombre rationnel. L'égalité du rationnel que désigne la fraction ne saute pas toujours aux yeux, comme pour 57 ÷ 437 et 3 ÷ 23. La définition limite aussi au cas où numérateur et dénominateur sont des entiers. Mais on emploie couramment la même notation avec des nombres réels, comme ^π⁄₂ ou ^√3⁄₂ ; ces expressions obéissent aux mêmes règles de combinaison et de simplification que les fractions.

En France, les autorités de l'enseignement définissent ainsi la fraction : « si a et b désignent deux entiers (a ∈ $\mathbb {Z}$, b ∈ $\mathbb {Z} \star$), la fraction a/b est l'écriture d'un être mathématique appellé rationnel, mais n'est pas un être mathématique ; l'écriture a s'appelle « numérateur », l'écriture b « dénominateur » ; la barre, horizontale ou oblique, s'appelle un « trait de fraction » et équivaut à un signe de division »

Cette définition soulève aussi quelques difficultés pédagogiques. Si la fraction était une simple écriture, on ne pourrait en faire un des termes d'une opération sur des nombres. On doit pourtant comprendre l'expression ¹⁄₂ + ¹⁄₄ = ³⁄₄.

Stella Baruk propose de diminuer ces difficultés en prenant soin de parler de fractions équivalentes quand elles désignent le même nombre rationnel et d'écriture fractionnelle quand le numérateur ou le dénominateur n'est pas un nombre entier, et que par conséquent, il ne s'agit pas d'une fraction.

 

Modélisation d'une fraction

Pour comprendre et établir les règles de maniement des fractions, il existe deux méthodes différentes. La première consiste à faire usage de la géométrie. La fraction représente une portion d'aire d'une figure géométrique ou d'une longueur d'un côté d'un polygone, souvent un triangle. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la géométrie et à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Une autre démarche est de nature purement algébrique. Les nombres rationnels sont construits de manière abstraite à partir de classes d'équivalence d'entiers. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles avec la classe d'équivalence, ce qui équipe l'ensemble des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelles. Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.

La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, permettant de généraliser les résultats au cas de fractions de deux nombres réels positifs. Elle est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Représentation d'une fraction

Le but ici est de visualiser une fraction n/d.

La fraction peut être représentée par un dessin. Bien souvent une forme géométrique que l'on divise en plusieurs parties.

Fractions dont n < d

Le dénominateur d indique le nombre de parties égales à dessiner dans la forme géométrique et le numérateur n indique le nombre de parties égales utilisées.

Par exemple, choisissons un rectangle comme forme géométrique et la fraction ³⁄₄. Le dénominateur est 4 donc le rectangle sera divisé en 4 parties égales.

Le numérateur est 3 donc seules 3 parties égales seront utilisées.

Autre possibilité :

Fractions dont n > d

Cette fraction sera équivalente au quotient de n/d, (qui représentera le nombre d'unité) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.

Par exemple, pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1. Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc 2 1/3. Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un schéma unique, nous utiliserons dès lors plusieurs formes géométriques similaires :

Prendre une fraction d'une quantité

Pour prendre les ²⁄₃ de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2 :

750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Donc ²⁄₃ de 750 = 500

Prendre ^a⁄_b de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a. Ou plus simplement, quand on connaît les règles de calcul sur les fractions, prendre ^a⁄_b de c revient à multiplier ^a⁄_b par c. Plus généralement, on constate que le « de » est remplacé par une multiplication. Il en est de même quand on calcule 75 % de c, on doit juste calculer 75 % multiplié par c. En effet, 75 % est une fraction : 75 % = ⁷⁵⁄₁₀₀ = 0,75.

Fractions équivalentes

Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction équivalente.

Exemple : (on a multiplié 2/3 par 2/2)

De manière générale, les fractions ⁿ⁄_d et ^n'⁄_d' sont équivalentes dès que n × d'= d × n'.

Exemple :

${\frac {4}{6}}={\frac {6}{9}}$ car $6\times 6=4\times 9\,$ (on appelle ces deux produits les produits en croix).

Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que n et d peuvent être divisés par un même nombre mais le plus grand possible. Ce nombre s'appelle le PGCD (plus grand commun diviseur) de n et d. Après réduction, la fraction est dite irréductible.

Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs soient identiques. Ce dénominateur sera le plus petit nombre possible qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre s'appelle le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération s'appelle réduire au même dénominateur.
Exemple :

${\frac {3}{4}}={\frac {3\times 3\times 3\times 5}{4\times 3\times 3\times 5}}={\frac {135}{180}}$

${\frac {1}{6}}={\frac {1\times 2\times 3\times 5}{6\times 2\times 3\times 5}}={\frac {30}{180}}$

${\frac {5}{9}}={\frac {5\times 2\times 2\times 5}{9\times 2\times 2\times 5}}={\frac {100}{180}}$

${\frac {14}{15}}={\frac {14\times 2\times 2\times 3}{15\times 2\times 2\times 3}}={\frac {168}{180}}$

Comparaison de fractions

• Pour un même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la fraction est grande.

Exemple :

${\frac {2}{3}}>{\frac {2}{5}}$

Le numérateur 2 est le même pour chaque fraction.

La comparaison des dénominateurs donne 3 < 5

• Pour un même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande :

Exemple :

${\frac {2}{7}}<{\frac {5}{7}}$

Le dénominateur 7 est le même pour chaque fraction.

La comparaison des numérateurs donne 2 < 5

• Si les numérateurs et les dénominateurs sont différents, on peut toujours réduire les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs : Comparaison de 1/4 et 2/5

1/4 =5/20 et 2/5 = 8/20. Or 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5

Remarque : on peut aussi utiliser l'écriture décimale comme 1/4 = 0,25 et 2/5 = 0,4, 0,25 < 0,4 donc ¹⁄₄ < ²⁄₅.

Écriture décimale, écriture fractionnaire

Toute fraction possède un développement décimal fini ou infini périodique qui s'obtient en posant la division de n par d.

1/4 = 0,25

2/3 = 0,666...(période 6)

17/7 = 2,428571428571...(période 428571)

Inversement, tout nombre décimal ou possédant un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de fraction.

Cas du nombre décimal

Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10ⁿ où n est le nombre de chiffres après la virgule :

$0{,}256={\frac {256}{1000}}={\frac {32}{125}}$

$15{,}16={\frac {1516}{100}}={\frac {379}{25}}$

Cas du développement décimal illimité

On commence par s'occuper de la partie entière : 3,4545... = 3 + 0,4545...

Cas du développement décimal périodique simple

Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule. 0,666... ou 0,4545... ou 0,108108...

Pour le numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période.

Par exemple, pour 0,4545... la période est 45 et est composée de deux chiffres, on obtient la fraction 45/99 = 5/11.

Par conséquent : 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11.

Sinon, posons x = 0,4545454545...

100x = 45,4545454545... = 45 + x donc 100x - x = 45,4545454545... - 0,4545454545... = 45 donc 99x = 45 donc x = 45/99.

Cas du développement décimal périodique mixte

Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas immédiatement après la virgule, par exemple : 0,8333... ou 0,14666...

Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période. Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.

Exemple : 0,36981981...
valeur mixte : 36
Valeur mixte suivie de la première période : 36981
Numérateur = 36981 - 36 = 36945

Dans la valeur 0,36981981..., la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres. Finalement on obtient 0,36981981... = 36945/99900 = 821/2220.

Exemple 2 : $1,24545...={\frac {1245-12}{990}}=137/110$.

Opérations sur les fractions

Addition et soustraction

Pour un dénominateur commun

Il suffit d'additionner ou de soustraire le numérateur de chaque fraction et de conserver le dénominateur commun.

Exemple d'une somme :

Exemple d'une différence :

Pour un dénominateur différent

Avant d'effectuer l'opération, chaque fraction doit être transformée en une fraction équivalente dont le dénominateur leur soit commun.
Exemple :

$A={\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}$

$A={\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}$

$A={\frac {11}{18}}$

Multiplication

Multiplication des fractions 2/3 et 4/5. À la droite, le petit rectangle comprend 2×4 cases bleu foncé, alors que le grand rectangle comprend 3×5 cases toutes couleurs confondues, d'où la fraction 8/15.

La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle fonctionne ainsi. Par exemple,

${\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{5}}={\frac {2\times 4}{3\times 5}}={\frac {8}{15}}$

Voici une explication basée sur une compréhension intuitive des fractions. On peut comprendre quatre cinquièmes comme quatre fois un cinquième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit ${\frac {4}{5}}$ comme ${4}\times {\frac {1}{5}}$. Ainsi multiplier ${\frac {2}{3}}$ par ${\frac {4}{5}}$ revient à effectuer ${\frac {2}{3}}\times 4\times {\frac {1}{5}}={\frac {2\times 4}{3}}\times {\frac {1}{5}}$.

Mais multiplier par un cinquième revient à diviser par 5, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 5 (les parts sont 5 fois plus petites), soit : ${\frac {2\times 4}{3\times 5}}$.

Division

La division est l'opération inverse de la multiplication. De façon algorithmique, lorsqu'on divise par une fraction, on remplace la division par la multiplication tout en inversant la fraction qui suit. Par exemple :

${\frac {2}{3}}\div {\frac {4}{5}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {5}{4}}={\frac {2\times 5}{3\times 4}}={\frac {10}{12}}={\frac {5}{6}}$

Autres fractions

• fraction irréductible : fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
• fraction unitaire : fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier positif.
• fraction décimale : fraction qui a pour dénominateur une puissance de 10.
• fraction dyadique : fraction dont le dénominateur est une puissance de 2.
• fraction composée : fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-mêmes des fractions : ${\frac {{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}}}={\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}={\frac {19}{15}}\times {\frac {6}{5}}={\frac {38}{25}}$
• fraction continue : fraction constituée à partir d'une suite d'entiers naturels $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)$ de la manière suivante $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}$
• fraction rationnelle : quotient de deux polynômes.
• fonction rationnelle : quotient de deux fonctions polynomiales.
• corps des fractions : corps commutatif construit à partir d'un anneau intègre et dans lequel on pourra effectuer des divisions.

Pour les fractions rationnelles, ou plus généralement pour le corps des fractions d'un anneau commutatif, la notion de dénominateur et de numérateur garde le même sens.

Usage

Alors que les Français utilisent volontiers les nombres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les parties non entières par des fractions — sans doute en raison de la différence culturelle (songer par exemple à la popularité du système métrique et du système impérial dans les deux cultures). Par exemple, ils diront d'une personne qu'elle mesure 5 pieds ⁵⁄₈ et non pas 5,625 pieds.

Problèmes historiques

1. J’ai trouvé une pierre mais je ne l’ai pas pesée. Après lui avoir ajouté un septième de son poids et avoir ajouté un onzième du résultat, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na [unité de masse]. Quel était à l’origine le poids de la pierre ? (problème babylonien, tablette YBC 4652, problème 7)
2. Un nombre augmenté de son septième donne 19. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 24)
3. Un nombre augmenté de son quart donne 15. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 26)
4. Supposons que l’on ait 9 tiges d’or jaune et 11 tiges d’argent blanc qui, à la pesée, ont des poids tout juste égaux. Si l’on échange entre elles une de leurs tiges, l’or devient plus léger de 13 liang [unité de masse]. On demande combien pèsent respectivement une tige d’or et une tige d’argent. (Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, problème 7.17)
5. Une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et neuf paumes à l’extérieur. Je te demande combien elle a de long. (problème médiéval)

Étymologie

Le terme fraction, apparu en français à la fin du XII^e siècle, est un dérivé du bas latin fractio - « action de briser » - utilisé dans la terminologie mathématique médiévale pour désigner la « division ». Ce terme lui-même provient du latin classique frangere - « briser » - qui provient de la racine indo-européenne °bhreg qui a la même signification et dont dérive la racine gotique brikan qui donne break en anglais et brechen en allemand.

Les fractions furent autrefois nommées nombres rompus, terme encore utilisé au 18^e siècle, par exemple dans l'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers.