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TRADUCTION DE L'ARTICLE PARADOXE DE D'ALEMBERT DEPUIS LE WIKI ANGLAIS

Page originale : https://en.wikipedia.org/wiki/D'Alembert's_paradox

Jean le Rond d'Alembert (1717-1783)

D'après des observations expérimentales et à l'exception des superfluides, une force de traînée apparaît nécessairement lorsqu'un corps est placé dans un écoulement stationnaire. La figure montre le coefficient de traînée C_d d'une sphère en fonction du nombre de Reynolds Re, obtenu à partir d'expériences en laboratoire. La ligne pleine correspond à une sphère à surface lisse ; la ligne tiretée correspond à une sphère à surface rugueuse. Les nombres le long de la ligne traduisent plusieurs régimes d'écoulement et les modifications correspondantes du coefficient de traînée. :
•2: écoulement attaché (Écoulement de Stokes) et écoulement détaché stationnaire,
•3: écoulement détaché instationnaire avec une couche limite laminaire en amont de la séparation et produisant une allée de tourbillons,
•4: écoulement détaché instationnaire avec une couche limite laminaire en amont de la séparation et un sillage turbulent en aval,
•5: écoulement totalement détaché avec une couche limite turbulente.

Le paradoxe de d'Alembert a été mis en évidence par le mathématicien français Jean le Rond d'Alembert en 1752. D'Alembert montra que dans le cas d'un écoulement potentiel incompressible et non visqueux, la force de traînée, exercée sur un corps se déplaçant à vitesse constante par rapport au fluide, est nulle. Cette force de traînée nulle est en contradiction avec les observations expérimentales montrant l'apparition de traînée sur un corps en mouvement relatif par rapport à un fluide tel que l'air ou l'eau, tout particulièrement à haute vitesse ou de manière quasi équivalente à haut nombre de Reynolds. C'est un exemple particulier du paradoxe de réversibilité.

Lors de travaux sur le prix associé au problème de l'Académie royale des sciences de Prusse sur la traînée dans un écoulement en 1749, D’Alembert conclua : "Il me semble que la théorie des écoulements potentiels, développée avec toute la rigueur possible, donne, au moins dans plusieurs cas, une résistance strictement nulle, un paradoxe singulier dont je laisse au géomètre futur le soin d'élucider." Ce paradoxe met en lumière un défaut dans la théorie de l'écoulement des fluides.

Ce point tendit à discréditer la mécanique des fluides du point de vue des ingénieurs. Il en résulta un séparation en deux approches : l'hydraulique, d'une part, se concentrant sur les phénomènes observables mais non expliqués et la mécanique des fluides théoriques, d'autre part, expliquant des phénomènes ne pouvant être observés, d'après les mots de Sir Cyril Hinshelwood, lauréat du prix Nobelr de chimie en 1956.

D'après la communauté scientifique, l’émergence de ce paradoxe vient du fait que l'effet de la viscosité était négligée dans la théorie. Le 19è siècle vit émerger de nombreuses avancées dans la théorie de la friction au sein des fluides visqueux, simultanément à un développement des expériences scientifiques. En lien avec le paradoxe de d'Alembert, ces découvertes permirent notamment à Ludwig Prandtl de découvrir et caractériser les couches limites minces en 1904. En effet, même dans un régime d'écoulement fortement turbulent, caractérisé par un nombre de Reynolds élevé, une fine couche limite reste présente du fait des forces de viscosité. Pour un corps profilé, ces forces font apparaître une traînée dite de frottement ; pour un corps non profilé, cette traînée de frottement peut en plus s'accompagner, en fonction du nombre de Reynolds, d'un décollement de la couche limite avec apparition d'un sillage turbulent créant alors une traînée dite de forme.

De façon générale, la communauté en mécanique des fluides admet la solution pratique mise en avant par Prandtl. Cependant, une preuve mathématique formel n'a pas encore pu être établie et sera difficile à mettre en œuvre, à l'image de nombreux problèmes mettant en jeu les équations de Navier-Stokes utilisés pour décrire l'écoulement d'un fluide visqueux.

Introduction des frottements visqueux par Saint-Venant et Stokes

Saint-Venant fut le premier à envisager une solution à ce paradoxe en introduisant la notion de frottements visqueux au sein du fluide. Il déclarant en 1847

"Mais on trouve un autre résultat si, au lieu du fluide idéal, objet des calculs des géomètres du siècle dernier, on remet un fluide réel, composé de molécules en nombre fini, et exerçant, dans l'état de mouvement, des pressions inégales ou qui ont des composantes tangentielles aux faces à travers lesquelles elles agissent ; composantes que nous désignerons par le nom de frottement du fluide, qui leur a été donné depuis Descartes et Newton jusqu'à Venturi."

Peu de temps après, en 1851, Stokes établit la formule de la force de traînée autour d'une sphère dans un écoulement particulier appelé écoulement de Stokes. Cette formule prit le nom de loi de Stokes. L'écoulement de Stokes caractérise l'écoulement laminaire, c'est-à-dire à faible nombre de Reynolds, d'un fluide visqueux confiné ou s'écoulant autour d'un objet de faibles dimensions. Cette configuration permet d'établir un système d'équations acceptant une solution pour un écoulement autour d'une sphère.

Pourtant, du point de vue de l'analyse dimensionnelle, les équations de Navier-Stokes, tenant compte des effets visqueux, convergent vers les équations non visqueuses dites d'Euler lorsque le nombre de Reynolds tend vers l'infini. Cette propriété des équations suggère donc que l'écoulement doit converger vers les solutions de la théorie de l'écoulement potentiel, solutions menant au paradoxe de d'Alembert. Cependant, aucune preuve expérimentale n'a pu être établie permettant de vérifier cette propriété. Ces conclusions soulevèrent des questions quant aux applications de la théorie de la mécanique des fluides dans la seconde moitié du 19è siècle.

Écoulement détaché non visqueux : les apports de Kirchhoff et Rayleigh

Écoulement potentiel, incompressible, permanent et détaché autour d'une plaque plane en deux dimensions avec un champ de pression constant au long des deux lignes de courant partants des bords de la plaque.

Dans la deuxième moitié du 19è siècle, l'attention s'est de nouveau portée sur la théorie des écoulements non visqueux pour l'étude de la traînée. Cette approche fut justifiée par la faible influence des effets visqueux à haut nombre de Reynolds. Le modèle proposé par Gustav Kirchhoff et Lord Rayleigh était basé sur la théorie des lignes de courant libres développée par Hermann von Helmholtz. Cette théorie consiste à définir un sillage permanent derrière le corps immergé en supposant que, dans la région définie par le sillage, la vitesse de l'écoulement est égal à celle de l'objet et la pression est constante. Le domaine défini par ce sillage est séparé de l'écoulement potentiel extérieur par une allée de tourbillons présentant des discontinuités à l'interface de la composante tangentielle de la vitesse.. Afin d'avoir une force de traînée non nulle s'exerçant sur l'objet, le sillage ainsi défini doit s'étendre à l'infini. Cette hypothèse est valide dans le cadre de l'écoulement perpendiculaire à une plaque, défini de Kirchhoff. Cette théorie permet d'établir que la force de traînée est proportionnelle au carré de la vitesse, résultat conforme à la réalité. Dans un premier temps, cette approche ne pouvait être appliquée qu'à des écoulements se détachant sur des arêtes vives. Une extension fut proposée par Tullio Levi-Civita en 1907 pour l'étude d'écoulements se détachant sur des bords arrondis.

Il fut rapidement mis en évidence que de tels écoulements permanents ne sont pas stables. En effet, la discontinuité des vitesses tangentielles associée à la zone tourbillonnaire séparant les deux régions génère une instabilité de Kelvin-Helmholtz. Ce modèle continua malgré tout à être étudié dans l'espoir dans tirer une estimation réaliste de la force de traînée. Rayleigh dit à ce propos : « si le calcul de la résistance est matériellement affecté par les circonstances où la pression est exercée doit être quasi indépendante de ce qui arrive à une certaine distance de l'arrière de l'obstacle où l'instabilité est susceptible d'apparaître en premier. »

Pour autant, des objections sont apparues à l'encontre de cette approche. Kelvin observa que si une plaque se déplace à vitesse constante au travers d'un fluide, la vitesse dans le sillage est égale à cette de la plaque. L'extension infinie du sillage -- qui s'élargit en s'éloignant de la plaque, comme obtenu par la théorie -- a pour conséquence d'aboutir à une énergie cinétique infinie dans le sillage, ce qui doit être écarté d'un point de vue physique. De plus, les différences de pression observées entre l'amont et l'aval de la plaque, et les forces de traînée qui en résultent, sont nettement plus supérieures aux prédictions : pour une plaque plane perpendiculaire à l'écoulement, le coefficient de traînée prédit est $C_{D}=0{,}88$, là où l'expérience trouve $C_{D}=2{,}0$. Cette différence est principalement due à l'effet d'aspiration du sillage de la plaque, effet induit par l'écoulement instationnaire dans le sillage réel (contrairement à la théorie qui suppose une vitesse de l'écoulement constante égale à la vitesse de la plaque.

Ainsi, cette théorie ne permet pas de donner une explication satisfaisante au phénomène de traînée d'un corps en mouvement au travers d'un fluide. Pour autant, elle peut être appliquée aux écoulements dits à cavité où une cavité vide est supposée être présente à l'aval de l'objet au lieu d'un sillage plein.

Couche limite mince: Prandtl

Distribution de pression pour un écoulement autour d'un cylindre circulaire. La ligne bleue tiretée représente la distribution de pression basée sur la théorie de l'écoulement potentiel qui donne lieu au paradoxe de D'Alembert. La courbe bleue pleine est la distribution de pression moyenne obtenue expérimentalement à grand nombre de Reynolds. La pression est la distance radiale par rapport à la surface du cylindre : la pression est positive à l'intérieur du cylindre jusqu'au centre tandis qu'une pression négative est tracée à l'extérieur du cylindre.

Le physicien allemand Ludwig Prandtl suggéra en 1904 qu'une couche limite mince visqueuse pourrait être à l'origine d'une force de traînée. Prandtl avança l'idée qu'à grande vitesse et grand nombre de Reynolds, une hypothèse de non glissement à la paroi entraîne une forte variation de la vitesse de l'écoulement dans une couche mince proche de la paroi de l'objet. Cette variation a pour effet de créer de la vorticité et une dissipation visqueuse d'énergie cinétique dans la couche limite. C'est précisément cette dissipation d'énergie, absente de la théorie non visqueuse, qui entraîne la séparation de l'écoulement autour d'un objet non profilé. La zone de basse pression dans le sillage fait apparaître une traînée de forme, potentiellement plus grande que la traînée visqueuse causée par le cisaillement visqueux à la paroi.

Il est possible de trouver une preuve de l'hypothèse mise en avant par Prandtl pour les corps non profilés en observant un écoulement à haut nombre de Reynolds autour d'un cylindre. Initialement, l'écoulement s'apparente à un écoulement potentiel jusqu'au moment où l'écoulement se sépare près du point de stagnation derrière l'objet. Ce point se déplace ensuite vers l'amont de l'écoulement faisant appraître une séparation de l'écoulement associée à une zone de basse pression.

Prandtl fit l'hypothèse que les effets visqueux sont importants dans les couches minces, aussi appelées couches limites, contiguës des parois solides, et que la viscosité n'a pas de rôle prépondérant en dehors de ces couches. L'épaisseur de la couche limite se réduit à mesure que la viscosité diminue. Le problème complet des écoulements visqueux, décrit par les équations non linéaires de Navier-Stokes, n'est pas mathématique soluble de façon général. Néanmoins, en utilisant cette hypothèse et en s'appuyant sur des expériences, Prandtl fut en mesure de dériver un modèle approché pour l'écoulement à l'intérieur des couches limites, modèle appelé théorie de la couche limite, tandis que l'écoulement à l'extérieur de la couche limite peut être traité comme un écoulement non visqueux. La théorie de la couche limite se rapproche de la méthode des développements limités raccordés pour la dérivation de solutions approchées. Dans le case le plus simple d'une plaque plane parallèle à l'écoulement incident, la théorie de Prandtl peut être directement appliquée à un corps profil tel un profil d'aile, pour lequel sont observés à la fois de la traînée de forme et de la traînée de friction. La traînée de forme apparaît suite à l'interaction de la couche limite et du sillage mince sur la distribution de pression autour du profil d'aile.

Questions ouvertes

Comme suggéré par Prandtl, il peut être particulièrement difficile de vérifier qu'un petit phénomène évanescent, comme la décroissance de la viscosité lorsque le nombre de Reynolds augmente, a un effet à grande échelle -- une traînée non négligeable.

Dans le chapitre d'ouverture de son livre Hydrodynamics paru en 1950, le mathématicien Garrett Birkhoff présente certains paradoxes de mécanique des fluides, dont le paradoxe de D'Alembert, et exprime un doute clair sur leur solution officiel :

"De plus, je pense que tous les expliquer par l'absence de viscosité est une simplification injustifiée. Les racines sont plus profondes, précisément dans l'absence d'une rigueur déductive dont l'importance est si souvent minimisée par les physiciens et ingénieurs" .

En particulier, sur le paradoxe de D'Alembert, il considère une autre source possible de production de traînée : l'instabilité des solutions de l'écoulement potentiel dans les équations d'Euler. Birkhoff affirme :

"Dans tous les cas, le paragraphe précédent montre clairement que la théorie des écoulements non visqueux est incomplète. En effet, le raisonnement menant au concept d'écoulement stationnaire n'est pas concluant ; il n'y a aucune justification rigoureuse permettant d'éliminer le temps comme une variable indépendante. Ainsi, les écoulements de Dirichlet (solutions potentiels) et d'autres écoulements stationnaires sont mathématiquement possible, il n'y a aucune raison de supposer qu'un écoulement stationnaire est stable".

Dans sa revue du livre de Birkhoff publiée en 1951, le mathématicien James J. Stoker a vivement critiqué le premier chapitre :

"Le relecteur a trouvé difficile d'identifier pour quel type de lecteurs le premier chapitre a été rédigé. Pour des lecteurs connaisseurs de l'hydrodynamique, la plupart des paradoxes cités appartiennent soit à la catégorie des erreurs depuis longtemps corrigées ou dans la catégorie des contradictions entre théorie et expériences dont les explications sont toutes bien connues. D'un autre côté, le lecteur non initié serait très probablement dirigé vers de fausses idées à propos des réussites importantes et utiles en hydrodynamique à la lecteur de ce chapitre."

Dans la seconde version d'Hydrodynamics, révisée par Birkhoff en 1960, les deux affirmations précédentes n’apparaissent plus. In the second and revised edition of Birkhoff's Hydrodynamics in 1960, the above two statements no longer appear.

The importance and usefulness of the achievements, made on the subject of the d'Alembert paradox, are reviewed by Stewartson thirty années later. His long 1981 survey article starts with:

"Since classical inviscid theory leads to the patently absurd conclusion that the resistance experienced by a rigid body moving through a fluid with uniform velocity is zero, great efforts have been made during the last hundred or so années to propose alternate theories and to explain how a vanishingly small frictional force in the fluid can nevertheless have a significant effect on the flow properties. The methods used are a combination of experimental observation, computation often on a very large scale, and analysis of the structure of the asymptotic form of the solution as the friction tends to zero. This three-pronged attack has achieved considerable success, especially during the last ten années, so that now the paradox may be regarded as largely resolved."

For many paradoxes in physics, their resolution often lies in transcending the available theory. In the case of d'Alembert's paradox, the essential mechanism for its resolution was provided by Prandtl through the discovery and modelling of thin viscous boundary layers – which are non-vanishing at high Reynolds numbers.

Démonstration du paradoxe dans un écoulement potentiel permanent

Lignes de courant dans un écoulement potentiel uniforme autour d'un cylindre circulaire.

Définition de l'écoulement potentiel

Trois hypothèses sont nécessaires pour effectuer la dérivation du paradoxe de d'Alembert. L'écoulement doit être incompressible et irrotationnel et le fluide non visqueux. L'évolution du champ de vitesse ${\vec {u}}$ de cet écoulement est décrit par l'équation d'Euler à laquelle s'ajoute les deux contraintes de l'écoulement. Le système s'écrit ainsi

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\left({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p,&&(1)\\&{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0,&&(2)\\&{\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=0,&&(3)\\\end{aligned}}$

avec (1) l'équation de conservation de la quantité de mouvement, (2) l'hypothèse d'incompressibilité et (3) l'hypothèse d'irrotationnalité. Le champ de pression est noté $p$ , la masse volumique du fluide $\rho$ et $\nabla$ désigne l'opérateur gradient.

Il est possible de réécrire le terme d'advection de l'équation (1), le terme $\left({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}$ du membre de gauche. Cette réécriture fait intervenir les identités vectorielles puis la condition d'irrotationnalité. Il advient alors :

${\begin{aligned}&\left({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}={\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right)-{\vec {u}}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}={\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right).&&(4)\end{aligned}}$

L'hypothèse d'écoulement irrotationnel permet d'introduire le potentiel de vitesse $\phi$ définit tel que ${\vec {u}}={\vec {\nabla }}\phi$. En substituant cette expression dans l'équation (1) définie précédemment et en utilisant l'expression (4), l'égalité suivante peut être établie :

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\frac {p}{\rho }}\right)={\vec {0}}.&&(5)\end{aligned}}$

Ainsi, la quantité entre parenthèse se conserve au sein de l'écoulement à une constante près. En faisant l'hypothèse que le fluide est au repos à l'infini et que la pression est nulle à l'infini, cette constante est nulle. Il advient alors l'équation

${\begin{aligned}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\frac {p}{\rho }}=0&&(6)\end{aligned}}$

qui est l'équation dite de Bernoulli pour un écoulement potentiel instationnaire.

Apparition de la traînée nulle

Supposons qu'un corps immergé se déplace à une vitesse ${\vec {v}}$ au sein d'un fluide au repos à une distance infinie de l'objet. Le champ de vitesse du fluide suit celui du corps immergé. Il s'écrit alors

${\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)={\vec {u}}\left({\vec {x}}-{\vec {v}}\times t,0\right)$

avec ${\vec {x}}$ le vecteur de coordonnées spatiales. La relation suivante apparaît :

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}={\vec {0}}.$

En présence d'un écoulement potentiel, il est possible d'écrire le champ de vitesse sous la forme ${\vec {u}}={\vec {\nabla }}\phi$. En intégrant cette relation selon la vecteur de coordonnées ${\vec {x}}$, il advient :

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi +R(t)=-{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}+R(t).$

La force ${\vec {F}}$ exercée par le fluide sur l'objet est donnée par l'intégrale de surface :

${\vec {F}}=-\int _{A}p{\vec {n}}\mathrm {d} S$

où A est la surface de l'objet et ${\vec {n}}$ le vecteur normal à la surface. Mais d'après (2) ?, l'équation devient

$p=-\rho \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right)=\rho \left({\vec {v}}\cdot {\vec {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-R(t)\right).$

En sachant que la contribution du terme $R(t)$ dans l'intégrale est nulle, il advient :

${\vec {F}}=-\int _{A}p{\vec {n}}\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}\right){\vec {n}}\mathrm {d} S.$

À partir de cette étape, il est plus simple d'utiliser la notation indicielle. On peut ainsi réécrire l'équation précédente pour la composante k :

${\begin{aligned}&F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\mathrm {d} S.&&(3)\end{aligned}}$

Appelons V le volume occupé par le fluide. Le théorème de la divergence permet d'établir la relation suivante

${\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\mathrm {d} V.$

Le membre de droite est une intégrale sur un volume infini car l'hypothèse a été faite que le fluide occupe un volume infini. Cette assertion se justifie dans le cadre de la théorie des écoulements potentiels si le champ de vitesse $u$ décroît en suivant une loi en $r^{-3}$, $r$ étant la distance par rapport au centre du corps immergé. Cette configuration correspond à un champ potentiel dipôle dans le cas d'un objet en trois dimensions de dimension finie^[Quoi ?]. L'intégrande du membre de droite peut alors être réécrit :

${\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}$.

L'hypothèse d'incompressibilité de l'écoulement et l'égalité (1) ? ont été utilisées pour établir cette relation. En substituant cette nouvelle formulation dans l'intégrale de volume et en utilisant une autre propriété du théorème de la divergence^{[Laquelle ?]}, il advient

$-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\mathrm {d} S.$

En replaçant cette expression dans l'équation (3) ?, la composante k de la force peut s'exprimer par

$F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}\left(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k}\right)\mathrm {d} S.$

Le fluide ne pouvant passer au travers de l'objet, il y a égalité des composantes normales : ${\vec {n}}\cdot {\vec {u}}={\vec {n}}\cdot {\vec {v}}.$ L'expression de $F_{k}$ peut être réécrite

$F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}\left(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k}\right)\mathrm {d} S.$

La force de traînée est dirigée dans le sens du mouvement de l'objet. C'est donc le produit scalaire entre la vitesse de déplacement de l'objet $v$ et la force exercée sur l'objet $F$ :

${\vec {v}}\cdot {\vec {F}}=\sum _{k}v_{k}F_{k}=\ldots$

Il apparaît que la force de traînée est nulle.

Bibliographie

• Jean le Rond d'Alembert, Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, 1752 (lire en ligne)
• Jean le Rond d'Alembert, Opuscules Mathématiques, vol. 5, §I, 1768, 132–138. (lire en ligne), « Mémoire XXXIV »
• Ludwig Prandtl, Motion of fluids with very little viscosity, vol. 452, NACA Technical Memorandum, 1904 (lire en ligne)

• G. Batchelor, An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Mathematical Library », 2000 (ISBN 978-0-521-66396-0, MR 1744638)
• G. Falkovich, Fluid Mechanics, a short course for physicists, Cambridge University Press, 2011 (ISBN 978-1-107-00575-4)
• Grimberg, G., Pauls, W. et Frisch, U., Genesis of d’Alembert’s paradox and analytical elaboration of the drag problem, vol. 237, 2008, 1878–1886 p. (DOI 10.1016/j.physd.2008.01.015, Bibcode 2008PhyD..237.1878G, arXiv 0801.3014)
• L. D. Landau et E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, vol. 6, Pergamon Press, coll. « Course of Theoretical Physics », 1987 (ISBN 978-0-08-009104-4)
• K. Stewartson, D'Alembert's Paradox, vol. 23, 1981, 308–343 p. (DOI 10.1137/1023063)
• (en) Garrett Birkhoff, Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude, Princeton University Press for University of Cincinnati, 1^er janvier 1950 (lire en ligne)

Liens externes

• Potential Flow and d'Alembert's Paradox at MathPages

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