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Couche limite

zone d'interface entre un corps et le fluide environnant
"Couches limites laminaires et turbulentes"
Couches limites laminaires et turbulentes d'un écoulement sur une plaque plane (avec profil des vitesses moyennes).

La couche limite est la zone d'interface entre un corps et le fluide environnant lors d'un mouvement relatif entre les deux, conséquence de la viscosité du fluide. Elle est un élément important en mécanique des fluides, (aérodynamique, hydrodynamique), en météorologie, en océanographie, etc.

Sommaire

DescriptionModifier

 
Profil de vitesses dans une couche limite.

Lorsqu'un fluide réel s'écoule le long d'une paroi supposée fixe, les vitesses sur la paroi sont nulles alors qu'à l'infini (c'est-à-dire loin de l'obstacle) elles sont égales à la vitesse de l'écoulement non perturbé. Sur une normale à la paroi, la vitesse doit donc dans tous les cas varier entre 0 et un maximum. La loi de variation dépend de la viscosité du fluide qui induit un frottement entre les couches voisines : la couche la plus lente tend à freiner la couche la plus rapide qui, en retour, tend à l'accélérer.

Dans ces conditions, une forte viscosité tend à égaliser au maximum les vitesses localement. Au contraire, si le fluide est peu visqueux, les différentes couches sont beaucoup plus indépendantes de leurs voisines : la vitesse à l'infini se maintient jusqu'à une courte distance de l'obstacle et il y a une variation plus forte des vitesses dans une petite épaisseur proche de la paroi que l'on nomme la couche limite.

Dans le premier cas (forte viscosité du fluide), il faut utiliser les équations générales du fluide visqueux. Dans le second (fluide peu visqueux), on peut utiliser dans la couche limite des équations simplifiées complétées par des résultats expérimentaux ; au-delà de la couche limite, on utilise les équations, également plus simples, du fluide parfait (justiciable de l'équation de Bernoulli). Lors de l'utilisation de ces équations du fluide parfait, on doit bien sûr considérer le corps comme épaissi (« engraissé ») par la couche limite.

En fait, ce n'est pas la viscosité elle-même qui est le critère de jugement de la nature visqueuse ou non d'un écoulement. Comme toujours en mécanique des fluides, c'est un nombre sans dimension qui sert de critère et caractérise l'écoulement : le nombre de Reynolds. Celui-ci décrit le rapport des forces inertielles aux forces de frottement visqueux. Ainsi, au lieu d'augmenter la viscosité, on peut obtenir un phénomène semblable (un même nombre de Reynolds et donc un même écoulement) en diminuant la vitesse ou les dimensions de l'obstacle.

HistoireModifier

 
Ludwig Prandtl en 1904 avec son canal hydraulique (voir aussi cette image).

Le concept de couche limite fut présenté par Ludwig Prandtl à l’occasion du 3e congrès international des mathématiciens d’Heidelberg, en août 1904[1]. Son texte[2], « qui marque le commencement de la compréhension par l’homme de la dynamique des fluides réels[3] », ne suscita cependant que peu d’intérêt à l’étranger[3],[4], peut-être parce que ce concept de couche limite apparaissait comme arbitraire et flou[5].

Bien qu’Heinrich Blasius, un des premiers élèves de Prandtl, ait proposé en 1908 un mode de calcul de la couche limite laminaire (équation de Blasius) et que Prandtl, en 1912, ait magistralement expliqué la crise de traînée de la sphère quantifiée par Gustave Eiffel en l’attribuant à la transition de la couche limite depuis un état laminaire jusqu’à un état turbulent, il fallut plusieurs décennies[1] pour que le concept de couche limite soit intégré dans la pensée des mécaniciens des fluides. À cet égard, il est révélateur que le texte fondateur de Prandtl (publié en 1905) n'ait été traduit qu’en 1927 par le NACA (pourtant fondée en 1915).

ThéorieModifier

 
Profil de vitesse au travers d’une couche limite au-dessus d’une plaque.

La définition même de la couche limite réside dans le fait qu'elle représente la région de l'écoulement où les effets visqueux sont au moins aussi importants que les effets inertiels (en termes d'ordre de grandeur). Ce n'est en effet pas le cas loin de la paroi, où l'écoulement est alors dit « d'Euler », et où les effets visqueux ne se font pratiquement pas ressentir. Un fluide parfait est par définition non conducteur et a ses coefficients de Lamé nuls (c'est-à-dire pas de viscosité).

On définit en général l'épaisseur de la couche limite comme l'épaisseur dans laquelle les particules de fluides ont une vitesse moyenne (selon  )  ,   étant la vitesse de l'écoulement « extérieur », c'est-à-dire « au sommet » de la couche limite[6]. Cette définition est plus facile à visualiser pour la couche limite qui se développe sur chaque face d'une plaque plane dans un écoulement tel que la vitesse et la pression "extérieures" soient constantes[7] (comme sur l'image ci-contre où la vitesse extérieure   est celle de l'écoulement, notée  ).

 
Évolution de la couche limite avec l'abscisse, donc le Reynolds.

Il faut noter que l'épaisseur   de la couche limite varie en fonction de  , l'abscisse depuis le point d'arrêt.

Le profil de vitesse au sein de la couche limite dépend de son état qui peut être soit laminaire (en bleu clair sur le schéma ci-contre) soit turbulent (en orange). L'abscisse   (mesurée depuis le point d'arrêt) où se produit la transition entre l'état laminaire et l'état turbulent dépend du nombre de Reynolds   basé sur cette abscisse  , ainsi que de la géométrie du corps lorsque ce corps n'est pas une plaque plane comme ci-contre, de sa rugosité et de la turbulence de l'écoulement. Entre la couche limite laminaire et la couche limite turbulente, il existe une zone de transition.

Sur ce même schéma figurent ce que l'on appelle les « profils de vitesses » des deux couches limites laminaire et turbulente. Dans un écoulement où   est suffisamment élevé, la couche limite a fait sa transition et est devenue turbulente. Si au contraire  , les équations du mouvement du fluide sont linéaires car les phénomènes de diffusion dominent et l'écoulement (et la couche limite) sont laminaires (écoulement de Stokes).

Caractérisation des couches limites par des méthodes physiquesModifier

Afin de rendre visible les deux états de la couche limite, on peut se baser sur l’évaporation d’un liquide volatil répandu sur le corps à étudier : cette évaporation, plus rapide pour la couche limite turbulente, permet une bonne détermination de l’abscisse de transition ainsi qu’une mise en évidence des transitions prématurées créées par des aspérités locales[8]. D’autre part, l’utilisation d’un stéthoscope connecté à un micro tube de Pitot permet une détermination acoustique approchée de l’état de la couche limite : dans son état laminaire, la couche limite est à peu près silencieuse alors que dans son état turbulent elle fait entendre un fort bruit de roulement ou de tonnerre, ce bruit étant plus fort dans la zone de transition[8].

Équations de la couche limiteModifier

La compréhension et la modélisation des équations de la couche limite sont peut-être une des plus importantes avancées de la dynamique des fluides. En utilisant l'analyse d'échelle, les équations de Navier-Stokes peuvent être écrites sous forme simplifiée. En effet, les équations de Navier-Stokes originales sont elliptiques alors que les équations simplifiées sont paraboliques. Cela simplifie grandement la résolution des équations. La simplification repose sur la division en deux de l'espace dans lequel s'écoule le fluide : la couche limite et le reste de l'espace (le reste étant facile à résoudre par de nombreuses méthodes). La couche limite est alors gouvernée par des équations différentielles partielles faciles à résoudre. Les équations de Navier-Stokes et de continuité, pour un écoulement bidimensionnel incompressible en coordonnées cartésiennes, sont :

 
 
 
où :
  • u et v sont les composantes de la vitesse ;
  • ρ est la masse volumique ;
  • p est la pression ;
  • ν est la viscosité cinématique du fluide en un point.

Un écoulement qui a un nombre de Reynolds élevé peut être simplifié. La simplification consiste à diviser l'espace en deux régions. La première est la région où l'écoulement du fluide n'est pas affecté par la viscosité — la majorité de l'espace — , l'autre région — proche des surfaces du domaine — est la région où la viscosité joue un rôle important (couche limite). Alors u et v sont respectivement la vitesse sur la ligne de courant et la vitesse normale à la ligne de courant à l'intérieur de la couche limite. En utilisant l'analyse d'échelle, les équations de mouvement pour la couche limite se simplifient et deviennent :

 
 

et si le fluide est incompressible, ce qui est le cas d'un liquide dans les conditions standards :

 

Une analyse asymptotique montre que v, la vitesse normale, est petite comparée à u, la vitesse sur une ligne de courant, et que les propriétés de ses variations dans la direction de la ligne de courant sont généralement moins importantes que dans la direction normale.

La pression statique p est indépendante de y, alors la pression au bord de la couche limite est la pression de la ligne de courant. La pression externe peut être calculée en appliquant le théorème de Bernoulli. Alors u0 est la vitesse du fluide en dehors de la couche limite, où u et u0 sont parallèles. En remplaçant p, les équations deviennent :

 

avec les conditions limites

 

Pour un fluide dans lequel la pression statique p ne dépend pas de la direction d'écoulement du fluide :

 

donc u0 reste constant.

Les équations de mouvement simplifiées sont :

 

On utilise ces approximations dans un grand nombre de problèmes scientifiques et d'ingénierie. L'analyse précédente concerne toute couche limite (laminaire ou turbulente), mais les équations sont principalement utilisées pour étudier la couche limite laminaire. En effet, la moyenne de la vitesse correspond à la vitesse instantanée, car les fluctuations de vitesses sont absentes.

Couche limite turbulenteModifier

Le traitement de la couche limite turbulente est rendu difficile par la dépendance de l'écoulement à la variable temps. Une des techniques les plus courantes, quand l'écoulement est considéré comme turbulent, est d'appliquer la décomposition de Reynolds. Dans ce cas, les propriétés instantanées de l'écoulement sont décomposées entre la moyenne et les fluctuations à la moyenne. En appliquant cette technique, les équations de la couche limite donnent une couche limite pleinement turbulente :

 
 
 

En utilisant la même technique de calcul pour l'équation instantanée, les équations deviennent dans sa forme classique :

 
 
 

Le terme additionnel   dans la couche limite turbulente est connu sous le nom de « contrainte partagée de Reynolds ». La solution aux équations de la couche limite turbulente nécessite l'utilisation de modèles de turbulences, dont le but est d'exprimer la contrainte de Reynolds partagée dans des termes connus de variables de l'écoulement et ses dérivés. Le manque de précision et la non généralisation de ces modèles constituent l'obstacle majeur dans le succès des prédictions des propriétés des écoulements turbulents, dans la science de la dynamique des fluides.

Paramètres caractéristiques de la couche limiteModifier

 
Paramètres caractéristiques de la couche limites.
  1. Épaisseur de déplacement
    Les lignes de courant en écoulement visqueux sont déplacées par rapport à leurs positions en fluide non-visqueux, ce déplacement est exploité pour définir une épaisseur telle que les aires A et A' soient égales.
     
    d’où :  
    En régime laminaire l'épaisseur de déplacement s’exprime de la manière suivante:  
  2. Épaisseur de la quantité de mouvement
    De la même manière, on définit l'épaisseur de la quantité de mouvement   :
     
    En régime laminaire l'épaisseur de quantité de mouvement s’exprime de la manière suivante:  
  3. Épaisseur en énergie
    Similairement, on définit l'épaisseur en énergie   :
     

Domaines d'applicationModifier

AnatomieModifier

Article détaillé : Chair de poule.

AéronautiqueModifier

AérodynamiqueModifier

 
Générateurs de tourbillons installées au centre de la dérive d'un Panavia Tornado. Les six petites lames provoquent l'apparition de petites couches limites turbulentes.

La couche limite joue un rôle majeur dans les performances d'une surface portante : par exemple, le décollement de la couche limite sur une aile d'avion provoque une chute de la portance et une augmentation de la traînée de l'aile, ce qui correspond à une baisse notable des performances aérodynamiques de l'avion. Le décollement de la couche limite survient lorsque l'angle d'incidence de l'aile devient trop important, ce qui correspond pratiquement à une assiette cabrée de l'avion (à l'atterrissage par exemple). Si cet angle est trop important, il se produit le phénomène de décrochage : la couche limite est fortement décollée et la portance peut chuter de façon très importante, plus ou moins brutalement. Ce phénomène est à l'origine de nombreux accidents aériens, la perte de portance pouvant entraîner la perte de contrôle de l'appareil.

Sur certains avions on trouve de petites lames, placées soit sur les ailes soit à l'arrière du fuselage, qui permettent de produire une couche limite turbulente qui résiste au décollement. Ces lames sont appelées « générateurs de tourbillons » (vortex generator en anglais).

Effets indésirablesModifier

 
Entrée d'air d'un SAAB 37 Viggen.

La couche limite peut sérieusement perturber le fonctionnement d'un moteur à réaction, d'une part à cause des turbulences dans le flux d'air ingéré par le moteur, et d'autre part en réduisant son efficacité à cause de la faible vitesse de l'air au niveau de la couche. Ce problème ne se pose pas lorsque l'entrée d'air est frontale (dans le nez de l'avion) ou que le réacteur est contenu dans une nacelle fixée sous les ailes (cas de la grande majorité des avions civils)[réf. nécessaire].

Par contre, lorsque l'entrée d'air est située le long du fuselage (cas des avions militaires surtout), elle est le plus souvent légèrement écartée de celui-ci pour être placée hors de la couche limite. Une plaque métallique est parfois ajoutée juste avant l'entrée d'air pour maintenir la couche limite contre le fuselage : on parle alors de « piège à couche limite ».

MétéorologieModifier

 
Représentation de la couche limite atmosphérique.

En météorologie, on appelle couche limite planétaire ou couche limite atmosphérique la zone de transition entre le sol (terre ou mer) et l'atmosphère libre (où l'influence du sol devient négligeable). Dans cette couche limite planétaire (ou atmosphérique) la vitesse du vent évolue depuis zéro (au sol) jusqu'à la vitesse du vent en atmosphère libre. La hauteur de cette couche limite varie entre 50 m et 3 km d'épaisseur selon la stabilité de l'air et la rugosité de la surface, la moyenne étant de 1 500 mètres[9]. L'étude théorique de cette tranche d'atmosphère divise en fait la couche limite planétaire comme la superposition de deux couches dont les épaisseurs sont très inégales[10] :

  • La couche d'Ekman ou couche limite dynamique (d'après le nom du physicien suédois Vagn Walfrid Ekman) dans laquelle le vent est causé par un équilibre entre les forces associées au gradient de pression et la force de Coriolis, due à la rotation quotidienne de la Terre, et une portion où les effets de surface diminuent graduellement jusqu'à l'atmosphère libre. La vitesse et la direction au sommet de cette couche est approximativement celle du vent géostrophique alors qu'elle diminue graduellement et tourne vers la plus basse pression à mesure qu'on descend vers le sol. Pour une atmosphère au voisinage de l'équateur la couche d'Ekman n'est plus définie (car infinie!) et on définira alors la couche limite dynamique comme la zone à partir de laquelle on retrouve les alizés (à la limite supérieure du flux de mousson par exemple).
  • La couche de surface ou couche limite de surface immédiatement au voisinage du sol et dont l'épaisseur ne dépasse pas le dixième de celle de l'ensemble de la couche limite. La vitesse de l'air y est causée par la flottabilité due aux différences de température et par les effets dynamiques des irrégularités de la surface (rugosité) . Les flux (de quantité de mouvement et de chaleur) y sont turbulents. La technique de mesure des covariances des fluctuations turbulentes sert à mesurer et calculer les flux turbulents verticaux à l'intérieur des couches limites de l'atmosphère. Les mesures du vent par un anémomètre dans cette couche de surface sont généralement effectuées à une hauteur normalisée de 10 mètres.

On parle également d'une sous-couche rugueuse tout près de la surface qui peut se diviser en deux sous-couches:

  1. une couche très mince proche de la surface où les effets visqueux et de conduction thermiques sont prédominants et caractérisent la longueur de rugosité de la surface (dynamique, thermique et hydrique) ;
  2. une couche de plus grande épaisseur, qui peut atteindre quelques dizaines de mètres dans laquelle les effets visqueux et conductifs sont négligeables: on l'appelle aussi la couche logarithmique de surface car les profils verticaux de vent, température et d'humidité s'approchent et sont modélisés par des variations logarithmiques en fonction de la hauteur à partir de la surface.

Les échanges de matière, d'énergie et de mouvement se produisant au sein de la couche limite planétaire sont primordiaux en météorologique. On y retrouve la plupart des éléments à méso-échelle qui mène au déclenchement de la convection profonde et une bonne partie des éléments qui mènent aux systèmes à l'échelle synoptique. La paramétrisation de la couche limite est donc primordiale dans la mise au point des modèles de prévision numérique du temps. Le rotor des éoliennes sont également placés le plus haut possible au-dessus du sol pour profiter du vent maximal, leur puissance étant environ proportionnelle au cube de la vitesse du vent[10].

Notes et référencesModifier

  1. a et b (en) Eberhard Bodenschatz and Michael Eckert, A Voyage Through Turbulence : PRANDTL AND THE GÖTTINGEN SCHOOL, Cambridge University Press, (ISBN 9780521149310, lire en ligne), p. 40 à 100
  2. (en) Ludwig Prandtl, NACA Technical Memorendum No. 452 : NOTION OF FLUIDS WITH VERY LITTLE VISCOSITY [« Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung »], NACA, (lire en ligne).
  3. a et b (en) Hugh L. Dryden, Fifty Years of Boundary-Layer Theory and Experiment : Reprinted from SCIENCE, March 18, 1955, Washington, NACA, (lire en ligne).
  4. Hugh L. Dryden, qui fut pendant 11 ans l’administrateur du NACA, écrit : « L’accroissement de l’intérêt pour le nouveau concept [de couche limite] de Prandtl fut très lent durant ses premières 30 années, d’une part à cause des faibles communications entre les équipes des différents pays et d’autre part parce qu’il n’y avait pas de preuves expérimentales de sa pertinence. Il a fallu attendre les premières mesures anémométriques au fil chaud ou les premiers micro tubes de Pitot pour obtenir ces preuves expérimentales »
  5. Placer la frontière entre la couche limite et l’écoulement non-visqueux à la ligne de courant possédant 99 % de la vitesse « au sommet » de la couche limite peut apparaître comme une pétition de principe, ou à tout le moins comme paradoxal. En effet, s’agissant de corps profilés, l’évolution de vitesse dans l'épaisseur de la couche limite à mesure que l’on s’éloigne de la paroi du corps est suivie, sans discontinuité, par une autre évolution de vitesse "au-dessus" de la couche limite : La première évolution (dans la couche limite) est justiciable des équations de la couche limite (donc en fluide visqueux), et la deuxième évolution (« au-dessus » de la couche limite) est justiciable de l’équation de Bernoulli (elle se calcule en fluide parfait, donc non visqueux). Cependant, sur une normale à la paroi, la pression dans la couche limite est constante et égale à celle "au-sommet" de cette couche limite : Cette propriété permet de mesurer expérimentalement la pression dans la couche limite au travers d’orifices dans la paroi du corps ; à cette pression mesurée on peut alors associer (en application de l’équation de Bernoulli) une vitesse qui est la vitesse locale de la ligne de courant jouxtant la couche limite). En conséquence, la vitesse dans la couche limite évolue depuis zéro à la paroi jusqu’à la vitesse associée (par Bernoulli) à sa pression mesurée « à la paroi ».
  6. L'AÉRODYNAMIQUE ET L'ORIGINE DES TRAINÉES PARASITES, Ewald HUNSINGER - Michaël OFFERLIN [1], Inter.action,
  7. On nomme ce type d'écoulement "écoulement sans gradient de pression".
  8. a et b AÉRODYNAMIQUE EXPÉRIMENTALE, par Pierre REBUFFET, 1962, Librairie Polytechnique Ch. Béranger, PARIS, ouvrage essentiel, non réédité
  9. Organisation météorologique mondiale, « Couche limite planétaire », Eumetcal (consulté le 10 avril 2013)
  10. a et b « Couche limite planétaire », Comprendre la météo, sur Météo-France (consulté le 10 avril 2013)

BibliographieModifier

  • (en) A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin et D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. (ISBN 0-415-27237-8)
  • (en) Herrmann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes Boundary-Layer Theory 8th edition Springer 2004 (ISBN 3-540-66270-7)
  • (en) John D. Anderson, Jr, Ludwig Prandtl's Boundary Layer, Physics Today, December 2005
  • Workshop in micrometeorology, 1972 (Haugen Editor) AMS, 392 pp.

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Liens externesModifier