Identités vectorielles

Dans cet article, on note pour le produit vectoriel et · pour le produit scalaire.

Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle.

  • (Identité de Binet-Cauchy)

Identités vectorielles généralesModifier

Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques de  .

Conventions d'écritureModifier

Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien. Cela permet néanmoins de retrouver plus directement les couplages (un indice supérieur s'associant avec un indice inférieur).

Produit scalaireModifier

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté

 

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

 

Produit vectorielModifier

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté

 

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

 

Symbole de Levi-CivitaModifier

Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant la convention de sommation d'Einstein est la suivante :

 

Avec   le symbole de Kronecker.

Triples produitsModifier

On a le résultat suivant sur le produit mixte :

  •  

 

La première égalité découle des propriétés du produit vectoriel :  . La seconde est démontrée ci-dessous.

Autres produitsModifier

L'identité de Binet-Cauchy :

 

à noter que l'on retrouve l'identité de Lagrange si a=c et si b=d.

OpérateursModifier

Cette section fournit une liste explicite de la signification des symboles utilisés pour plus de clarté.

DivergenceModifier

Divergence d'un champ vectorielModifier

Pour un champ vectoriel  , on écrit généralement la divergence comme suit :

 

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein la divergence d'un champ vectoriel s'écrit :

 

Divergence d'un tenseurModifier

Pour un tenseur  , on écrit généralement la divergence comme suit :

 

C'est un vecteur

RotationnelModifier

Pour un champ vectoriel  , on écrit généralement le rotationnel comme suit :

 

C'est un champ vectoriel.

En convention de sommation d'Einstein le rotationnel d'un champ vectoriel s'écrit :

 

GradientModifier

Gradient d'un champ vectorielModifier

Pour un champ vectoriel  , on écrit généralement le gradient comme suit :

 

C'est un tenseur.

Gradient d'un champ scalaireModifier

Pour un champ scalaire  , on écrit généralement le gradient comme suit :

 

C'est un vecteur.

En convention de sommation d'Einstein le gradient d'un champ scalaire s'écrit :

 

Combinaisons d'opérateursModifier

Rotationnel du gradientModifier

Le rotationnel du gradient de n'importe quel champ scalaire   est toujours nul :

 

Divergence du rotationnelModifier

La divergence du rotationnel de n'importe quel champ vectoriel   est toujours nulle :

 

LaplacienModifier

Laplacien d'un champ scalaireModifier

Le Laplacien d'un champ scalaire   est défini comme la divergence du gradient :

 

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein, le Laplacien d'un champ scalaire se note comme suit :

 

Laplacien d'un champ vectorielModifier

Le Laplacien vectoriel d'un champ vectoriel est le vecteur dont les composantes sont les laplacien des composantes.

En convention de sommation d'Einstein cela se note :

 

Rotationnel du rotationnelModifier

Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel   est donné par :

 

Produit vectoriel du champ par son rotationnelModifier

Le produit vectoriel du champ   par son rotationnel est donné par :

 

Autres identités impliquant des opérateursModifier

Dans cette section,   et   représentent des champs scalaires,   et   représentent des champs vectoriels.

  •  

Cette relation découle immédiatement de la règle du produit.

  •  
  •  

Gradient d'un produit scalaireModifier

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Divergence d'un produit vectorielModifier

  •  

Rotationnel d'un produit vectorielModifier

  •