Utilisateur:Eddy Meter/Brouillon

• Gérer mon brouillon
• Demander une relecture (voir les demandes)
• Publier mon brouillon

Cette page est un brouillon appartenant à Eddy Meter

Conseils de rédaction

• → N'hésitez pas à publier sur le brouillon un texte inachevé et à le modifier autant que vous le souhaitez.
• → Pour enregistrer vos modifications au brouillon, il est nécessaire de cliquer sur le bouton bleu : « Publier les modifications ». Il n'y a pas d'enregistrement automatique.

Si votre but est de publier un nouvel article, votre brouillon doit respecter les points suivants :

• Respectez le droit d'auteur en créant un texte spécialement pour Wikipédia en français (pas de copier-coller venu d'ailleurs).
• Indiquez les éléments démontrant la notoriété du sujet (aide).
• Liez chaque fait présenté à une source de qualité (quelles sources  – comment les insérer).
• Utilisez un ton neutre, qui ne soit ni orienté ni publicitaire (aide).
• Veillez également à structurer votre article, de manière à ce qu'il soit conforme aux autres pages de l'encyclopédie (structurer – mettre en page).

• → Si ces points sont respectés, pour transformer votre brouillon en article, utilisez le bouton « publier le brouillon » en haut à droite. Votre brouillon sera alors transféré dans l'espace encyclopédique.

En mathématiques, un immeuble, aussi appelé l’immeuble Tits et l’immeuble Bruhat-Tits (nommé d'après François Bruhat et Jacques Tits) est une structure combinatoire et géométrique qui généralise simultanément certains aspects des variétés de drapeaux, des plans projectifs finis, et les espaces riemanniens symétriques. Introduite par Jacques Tits comme moyen de comprendre la structure des groupes exceptionnels de type de Lie, la théorie a également été utilisée pour l'étude de la géométrie et de la topologie des espaces homogènes des groupes de Lie p-adiques et leurs sous-groupes de symétrie discrets, de la même manière que les arbres ont été utilisés pour étudier les groupes libres.

Pré-requis

Complexe polysimplicial

La structure d'un immeuble de Bruhat-Tits est celle d'un complexe polysimplicial.

Rappelons qu'un n-simplexe est un objet isomorphe à l'enveloppe convexe de n+1 points indépendants dans un espace affine à n dimensions, et une facette de ce simplexe est l'enveloppe convexe de n'importe quel sous-ensemble de ces points. On définit un complexe simplicial comme un couple $({\mathcal {A}},{\mathcal {F}})$ tel que ${\mathcal {A}}$ est un espace affine, et ${\mathcal {F}}$ est un ensemble de parties de ${\mathcal {A}}$ (appelées facettes de ${\mathcal {A}}$) constitué de simplexes tels que :

1. ${\mathcal {A}}=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F$,
2. si $F\in {\mathcal {F}}$ et $G$ est une facette de $F$, alors $G\in {\mathcal {F}}$,
3. si $F,F'$ sont des facettes de ${\mathcal {A}}$ non-disjointes, alors $F\cap F'$ est une facette de ${\mathcal {A}}$.

La construction d'un complexe polysomplicial est similaire. Tout d'abord, on définit un polysimplexe comme l'ensemble affine $F$ formé d'un produit d'un nombre fini de simplexes $F_{1},\ldots ,F_{k}$. Une facette de $F$ est alors défini comme un produit $G_{1}\times \ldots \times G_{k}$ où pour tout $i$, $G_{i}$ est une facette de $F_{i}$. Pour le reste, la définition de complexe polysimplicial s'adapte directement de la définition de complexe simplicial, en remplaçant chaque occurence de "simplexe" par "polysimplexe".

Système de Tits

Rappelons tout d'abord qu'un système de Coxeter est un couple $(W,S)$ où $W$ est un groupe et $S$ est une partie de $W$, tels que :

1. $S$ engendre $W$ et les éléments de $S$ sont d'ordre 2,
2. soit ${\ce {m(s,s')}}$ l'ordre de $ss'$ dans $W$, soit $\mathbb {I}$ l'ensemble des couples (s, s') avec $(s,s')\in S$ tels que ${\ce {m(s,s')}}$ soit fini, alors l'ensemble générateur $S$ et les relations $(ss')^{m(s,s')}$ pour $(s,s')\in \mathbb {I}$ forme une présentation de $W$

Un système de Tits est, quant à lui, un quadruplet $(G,B,N,S)$ où $G$ est un groupe, $B$ et $N$ des sous-groupes de $G$, et $S$ est une partie de $N/(B\cap N)$, vérifiant les axiomes suivants :

1. l'ensemble $B\cup N$ engendre $G$, et $B\cap N$ est un sous-groupe distingué de $N$,
2. le groupe $W=N/(B\cap N)$ est engendré par $S$, et $S$ est constitué d'éléments d'ordre 2,
3. pour tout $s\in S,w\in W$, on a $$sBw\subset BwB\cup BswB$$
4. pour tout $s\in S$, on a $sBs\neq B$.

Cela revient également à dire que $(B,N)$ est une paire (B, N) pour $G$. Pour cette raison, on dit souvent que $B$ est le sous-groupe de Borel de $G$, tandis que $W=N/(B\cap N)$est appelé le groupe de Weyl de $G$.

Sous-groupe parabolique, sous-groupe parahorique

Soit $(G,B,N,S)$ un système de Tits. On appelle sous-groupe parabolique de $G$ tout-sous groupe $P$ contenant un conjugué de $B$.

Les propriétés 2 et 3 de la définition de système de Tits permettent de montrer qu'il existe une unique partie $X$ de $S$ telle que $P$ est conjugué à $B_{X}=BW_{X}B$, où $W_{X}$ est le sous-groupe de $W$ engendré par $X$. On appelle $X$ le type de $P$. Un sous-groupe parahorique de $G$ est un sous-groupe parabolique tel que $W_{X}$ soit un groupe fini. Dans ce cas, $W_{X}$ est identifiable au sous-groupe des symétries d'un espace affine engendré par certaines réflexions, et on peut lui appliquer la théorie des chambres de Weyl.

Plus clairement, on associe à $S$ un ensemble de réflexions d'un espace affine euclidien $\mathbb {A}$, et à $W$ le groupe de Weyl qu'elles engendrent. Alors les murs des réflexions du groupe $W$ découpent $\mathbb {A}$ en plusieurs sections appelées chambres, et donnent à $\mathbb {A}$ une structure de complexe simplicial.

On fixe une fois pour toute $\mathbb {C}$ une de ces chambres, et pour tout type $X$, on appelle $\mathbb {C} _{X}$ la plus petite facette de la chambre $\mathbb {C}$ dont l'adhérence contient les murs correspondant aux éléments du type $X$.

Construction de l'immeuble d'un système de Tits

Un immeuble de Bruhat-Tits est un objet ${\mathcal {I}}$ qui possède une structure de complexe polysimplicial, d'un ensemble de morphismes chambrés appelés applications structurales, et d'une distance qui le rend complet. On peut associer un unique immeuble de Bruhat-Tits à chaque système de Tits $(G,B,N,S)$ de sorte que la loi de $G$ respecte les différentes structures de l'immeuble, qui ne dépend que de la classe de conjugaison de la paire $(B,N)$.

Le complexe polysimplicial ${\mathcal {I}}$

Soit $(G,B,N,S)$ un système de Tits. On note ${\mathcal {P}}$ l'ensemble des sous-groupes parahoriques de $G$, et pour tout $P\in {\mathcal {P}}$, on note $\tau (P)$. Alors l'immeuble associé au système de Tits $(G,B,N,S)$ est$${\mathcal {I}}=\{(P,x){\mbox{ tel que }}P\in {\mathcal {P}}{\mbox{ et }}x\in \mathbb {C} _{\tau (P)}\},$$où $\mathbb {C} _{\tau (P)}$ est la facette de la chambre de Weyl $\mathbb {C}$ fixée plus tôt dont l'adhérence contient les murs correspondant aux éléments du type $\tau (P)$.

Par analogie au cas affine, on appelle facette de ${\mathcal {I}}$ tout élément de la forme $$F(P)=\{(P,x){\mbox{ pour }}x\in \mathbb {C} _{\tau (P)}\}$$pour $P$ n'importe quel sous-groupe parahorique de $G$, et par abus de langage le type de $P$ est aussi appelé le type de la facette $F(P)$. Cette définition de facette fait de ${\mathcal {I}}$ un complexe polysimplicial.