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Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Il n'existait aucun signe pour le zéro. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires.

Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus.

Les rares documents mathématiques découverts à ce jour ne donnent qu'une vague idée de l'étendue des connaissances des anciens égyptiens dans ce domaine. Toutefois, il est certain qu'ils parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré. Ils connaissaient les suites numériques et le calcul de volumes et de surfaces avait également atteint un certain degré de complexité.

Les nombres égyptiens

Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'était donc un système de type additif.

Système de numération égyptien

Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'est donc un système additionnel. La numération égyptienne n'est pas une numération de position. Autrement dit, le nombre : , et le nombre, sont un seul et même nombre, 12.

Le hiéroglyphe indique donc l'ordre de grandeur qu'il code par son tracé même et non pas par sa position dans l'écriture du nombre : l'inconvénient de cette numération se fait apparent si on songe à l'écriture du nombre 9 999 999 par exemple, qui n'exige l'écriture que de sept chiffres dans notre numération de position, alors qu'il en faudrait soixante-trois en numération égyptienne.

Toutefois quand les nombres sont écrits en hiéroglyphes - c'est le cas lorsqu'ils sont gravés sur les parois des temples - les chiffres 1, 10 et 100 sont en demi taille. Ils se regroupent par ordres de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.).

Par exemple, le nombre 1 527 s'écrira :

Écriture des fractions

N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.

Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie était utilisé pour représenter le numérateur 1 :

Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit :

$={\frac {1}{3}}$

Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaire 2/3 et 3/4 :

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

Si le dénominateur devenait trop large, la "bouche" était placée juste au début du dénominateur :

$={\frac {1}{331}}$

Bien que d'usage peu commode, la représentation d'un nombre rationnel en fractions égyptiennes comme se l'imposaient les Égyptiens permet de déterminer immédiatement qu'une fraction est plus grande que l'autre.

Exemple :

• 55/84 = 1/2 + 1/7 + 1/84
• 7/11 = 1/2 + 1/8 + 1/88

Donc, le nombre rationnel 55/84 est clairement plus grand que 7/11 alors que ces deux nombres ne diffèrent entre eux que de 2% environ.

L'Œil d'Horus ou Œil Oudjat

L'Oudjat (vue de droite à gauche).

Les scribes se servaient des premières fractions dyadiques, à savoir 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 pour faire des calculs. Celles-ci étaient représentées par l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé.

Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (représentant les six fractions donc) mais il manquait 1/64 pour faire l'unité. Thot y ajouta alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité. Les scribes opéraient donc leurs calculs en approximant 63/64 à 1.

La composition de deux fractions susnommées leur permettait d'en créer de nouvelles (par exemple 1/2 et 1/4 pour avoir 3/4).

Les parties du dessin, stylisées, sont utilisées comme hiéroglyphes pour noter, dans les textes sur les volumes de grains, les fractions correspondantes (voir Œil Oudjat). Dans les papyrus mathématiques, les fractions sont notées en écrivant les nombres explicitement mais, dans les sections R37 et R38 du papyrus Rhind, qui comportent chacune des vérifications différentes, les deux dernières de R37 et la dernière de R38 sont proposée sous forme de volumes de grains en hekat et écrites dans la notation de l'œil Oudjat, de même que le calcul de R64 .

Les unités de mesure

Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée.

Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes. Le premier était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait à peu près 0,52 mètre. Cette unité était très utilisée pour mesurer les largeurs, longueurs de pièces d'une construction ou des salles d'un temple, mais aussi la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet.

Le deuxième système, le système oncial, était basé sur la coudée sacrée (meh djeser), mesurant à peu près 0,3 mètre. Elle était principalement utilisée dans la décoration des tombes, temples et palais.

Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de 1 khet (100 coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue.

Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'hekat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt hekat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente hekat. L'hekat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain.

Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre...), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ 91 grammes). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisait cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration.

Opérations arithmétiques

Addition et soustraction

Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction. L'écriture égyptienne ayant été, à ses origines, purement hiéroglyphique, l'addition de deux nombres consistait donc à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.

Exemple

2343 + 1671

+

nous donne

Soit :

Finalement, le résultat est :

Nul besoin alors pour les scribes des premiers temps historiques, de connaitre des tables d'addition. Cependant, l'écriture hiératique pose le problème de l'existence de telles tables, que ce soient des tables d'addition, de soustraction, de multiplication ou bien encore de division. En effet, ce type d'écriture ne repose plus sur le système additionnel et chaque opération nécessitait la consultation d'un table afin de déterminer le résultat.

Multiplication

La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10 etc.

Voici, en chiffres actuels, comment ils multipliaient 238 par 13. Ils multipliaient par deux d'une ligne à l'autre et cochaient en regard.

✔	1	238
	2	476
✔	4	952
✔	8	1904
	13	3094

13 = 8 + 4 + 1 donc d'après la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 × 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Division

La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.

Pour effectuer la division de 264 par 3, l'égyptien notait :

	1	3
	2	6
	4	12
✔	8	24
✔	16	48
	32	96
✔	64	192
	88	264

Le résultat est 88.

Carré et racine carrée

Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux.

L'énoncé du problème mathématique du papyrus 6619 de Berlin (voir § Équations du second degré) contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de 100, c'est-à-dire 10. À en juger par les exemples connus d'extraction d'une racine carrée, il semble que le scribe ne connaissait que les radicaux simples, résultant en entiers ou en peu de fractions. Toutefois, l'absence d'opérations dans les problèmes traités indique que le scribe devait avoir à sa disposition des tables contenant le résultat des racines carrées usuelles. Le papyrus Kahun et le papyrus de Moscou contiennent des applications aux racines carrées mais il est notable que le plus important papyrus mathématique, le papyrus Rhind, n'en contient aucune.

Connaissances géométriques

Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d'ordre général, inférieure à celle des babyloniens ou des grecs. La géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées très tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection et il ne fut nul doute aujourd'hui que cette science associée à l'architecture, fit la grande réputation des égyptiens. C'est l'une des raisons pour lesquelles leur pays accueillit en pèlerinage les savants de la Grèce antique. Les égyptiens réussirent ainsi à calculer la surface d'un disque sans connaitre le nombre pi, avec une erreur de seulement 0,6%. Ils pouvaient calculer les volumes de pyramides et de cylindres et l'aire d'une sphère.

Le cercle et l'ellipse

Le calcul de l'aire d'un disque représente sans doute l'un des progrès les plus significatifs effectué en mathématiques par les anciens égyptiens. Il est également l'un des exercices qui a fait couler le plus d'encre, le nombre pi et la quadrature du cercle semblant intimement liés au problème. Le calcul de l'aire est ainsi traité dans les problèmes R41, R42, R43, R48 et R50 du papyrus Rhind et enfin le problème M10 du papyrus de Moscou.

Énoncé du problème R50 du papyrus Rhind

« Exemple de calcul d'un champ rond de 9 khet. De combien est la surface du champ ? Soustrais son neuvième qui est 1. Il reste 8. Multiplie 8 par 8. Cela fait 64. Ceci est la surface du champ, à savoir 64 setjat. Fais comme suit: »

	1	9
✔	1/9	1

« Soustrais-le, il reste 8 »

	1	8
	2	16
	4	32
✔	8	64

« La surface du champ est 64 setjat. »

La formule appliquée par la scribe est donc clairement : $Aire=(d-(1/9)*d)^{2}$, d étant le diamètre du disque. L'énoncé évoque un champ rond de 9 khet, étant sous-entendu que 9 khet est le diamètre. Cette formule est équivalente à celle-ci: $Aire=(64/81)*d^{2}$. La formule moderne du calcul de l'aire d'un disque étant $\pi r^{2}$ ou $(\pi /4)d^{2}$, la plupart des auteurs attribue aux anciens égyptiens l'approximation de la valeur $\pi$ à 256/81 soit 3,1605, valeur remarquable pour l'époque. Cependant, le problème R50 exposé ci-dessus ne prouve pas que les égyptiens aient eu conscience de l'existence de cette constante. La seule certitude est qu'ils pouvaient calculer l'aire d'un disque à partir de son diamètre, et d'en donner une valeur approchée avec une grande précision en l'assimilant à un carré. La méthode employée pourrait bien trouver une explication dans une esquisse géométrique du problème R48 du papyrus Rhind.

Opérations du problème R48 du papyrus Rhind

Problème R48 du papyrus Rhind (en écriture hiératique à gauche, transcrit en écriture hiéroglyphique à droite)

	1	8 setjat
	2	16 setjat
	4	32 setjat
✔	8	64 setjat

et

✔	1	9 setjat
	2	18 setjat
	4	36 setjat
✔	8	72 setjat
		81

Le problème ne contient aucun énoncé, ce qui rend son interprétation délicate. Néanmoins, son intérêt réside dans l'esquisse accompagnant les opérations mathématiques décrites ci-dessus. Celle-ci représente un cercle maladroitement dessiné (ou bien une figure octogonale) inscrit dans un carré. À l'évidence, les calculs sont relatifs à l'aire du disque de diamètre 9, comparable à celui du problème R50.

La première hypothèse concernant ce dessin est que le scribe considère le disque dont il cherche l'aire comme équivalent à un octogone. Ce dernier est ainsi inscrit dans un carré dont les côtés sont égaux au diamètre du disque. L'octogone ayant une aire de 9² - 2 * 3² = 63, la surface du disque est alors approximée à 64.

La deuxième hypothèse, avancée par Michel Guillemot, reproduit plus fidèlement le dessin et considère que la surface du disque est équivalent à un octogone irrégulier dont l'aire est exactement de 9² - (3² + 2*4) = 64 (voir figure ci-dessous). Cet auteur est allé plus loin en émettant l'hypothèse que le scribe pouvait reconstituer un carré de côté 8 en décomposant cet octogone, ce qui revient à avancer que l'idée de quadrature du cercle était déjà présente à leur esprit. Cette dernière hypothèse a toutefois le mérite de donner une explication satisfaisante à la formule utilisée au problème R50, qui revient à avancer l'égalité entre l'aire d'un disque et l'aire d'un carré dont les côtés sont égaux au 8/9^e du diamètre du disque.

Problème R48 du calcul de l'aire d'un disque. À droite, interprétation classique du problème; à gauche, interprétation de Michel Guillemot

La demi-sphère

L'énoncé M10 du papyrus de Moscou fut étudié maintes fois mais les auteurs ne s'accordent toujours pas sur l'interprétation du problème. Les tenants de l'étude de la surface d'un demi-cercle s'opposent à ceux de l'étude d'une demi-sphère. Il semble bien, aux vues de l'énoncé et en dépit des nombreuses questions que cela engendre, que cette dernière proposition soit la plus acceptable.

Énoncé du problème M10 du papyrus de Moscou

« Exemple de calcul d'un nbt. Si on te dit : Un nbt dont la base est 4 1/2 entre limites. Peux-tu me faire connaitre sa surface ? Tu feras en sorte de calculer 1/9 de 9. À cause de cela, le nbt est la moitié d'un objet rond, il adviendra 1. Tu feras en sorte de calculer le reste à 8. Tu feras en sorte de calculer 1/9 de 8. Il adviendra 2/3 1/6 1/18. Tu feras en sorte de calculer le reste de ce 8 par rapport à ce 2/3 1/6 1/18. Il advient 7 1/9. Alors, tu feras en sorte de calculer 7 1/9, 4 1/2 fois. Il adviendra 32. Voici sa surface. Tu as trouvé parfaitement. »

Le terme nbt est traduit par corbeille. L'égyptien aboutit donc à un calcul donnant 32 comme résultat. Sylvia Couchoud a remarqué que la formule $Aire=(256/81)/2*d^{2}$ de la surface d'une demi-sphère, $\pi$ étant remplacé par le rapport égyptien 256/81, donne exactement le même résultat.

Volume d'un cylindre (application aux greniers à blé)

Grenier à blé égyptien

Les calculs de volume d'un cylindre interviennent dans les études du contenu des grenier à blé dont la base est ronde. Les représentations égyptiennes de ce type de grenier sont fréquentes (voir ci-contre). Le sommet est de forme ovoïde mais celui-ci n'est jamais pris en compte dans les calculs. L'introduction du grain se faisant par une trappe située au sommet, le tas de grain ne devait jamais dépasser la limite à partir de laquelle le diamètre du grenier diminuait.

Il existe deux types de calcul d'un tel volume. L'exemple suivant présente le premier type, basé sur le calcul de l'aire d'un disque.

Énoncé du problème R41 du papyrus Rhind

« Exemple de calcul d'un grenier rond dont le diamètre est 9 et la hauteur, 10. Extrait 1/9 de 9, soit 1. Le reste est 8. Multiplie 8 par 8. Cela fait 64. Multiplie 64 par 10. Cela fait 640 coudées (Sous-entendu coudées cubiques). Ajoute la moitié de cela à cela. Cela fait 960: le contenu en khar. Prends 1/20 de 960, soit 48. C'est ce que cela donne en quadruple-heqat de grains, 48 heqat. »

Méthode de calcul :

	1	8
	2	16
	4	32
✔	8	64

et

	1	64
✔	10	640
✔	1/2	320
		960

✔	1/10	96
✔	1/20	48

La formule algébrique équivalente serait donc $Volume_{cylindre-en-khar}=[(d-(1/9)*d)^{2}]*h*(3/2)$, avec d le diamètre du disque et h, la hauteur du cylindre.

Le papyrus Kahun quant à lui, présente un calcul faisant intervenir une seconde méthode :

Calcul du problème K4 du papyrus Kahun

✔	1	12
	2/3	8
✔	1/3	4
		16

et

✔	1	16
✔	10	160
✔	5	80
		256

et

✔	1	256
	2	512
✔	4	1024
✔	1/3	85 1/3
		1365 1/3

Ce calcul, répondant au problème du calcul d'un cylindre dont l'énoncé manque, peut être traduit en langage algébrique moderne. L'énoncé devait demander au scribe de calculer le volume en khar d'un grenier rond de 12 coudées de diamètre et de 8 coudées de hauteur.

Nous traduirions le raisonnement du scribe par l'application de cette formule: $Volume_{cylindre-en-khar}=(2/3)*h*[d+(d/3)]^{2}$, formule strictement équivalente à celle énoncée plus haut reposant sur le calcul de l'aire d'un disque.

Résolutions de problèmes à une ou deux inconnues

Le papyrus Rhind et le papyrus de Moscou contiennent différents problèmes que de nombreux auteurs ont assimilé à des problèmes algébriques de résolutions d'équations à une inconnue (voire deux inconnues), du premier et du second degré. Loin de faire l'unanimité, ce rapprochement met au moins l'accent sur une méthode efficace de résolution présageant l'utilisation de variables et d'inconnues.

Recherches d'une quantité (les problèmes ‘ḥ‘w)

Le scribe égyptien ne pose jamais les problèmes sous forme d'équations algébriques (il ne connait pas d'opérateurs mathématiques tels que +, -, x ou %, ni la notion d'inconnue posée par une lettre telle que x). Cependant, la technique utilisée pour résoudre ces problèmes s'apparentent bien souvent aux méthodes de résolution modernes d'équations. L'inconnue dont la valeur est à déterminer est toujours désignée par la quantité ‘ḥ‘ (‘ḥ‘w au pluriel).

Exemple du problème M25 du papyrus de Moscou

Problème ‘ḥ‘ posé par le scribe	Transcription du problème en langage algébrique moderne
Calcul d'une quantité (‘ḥ‘) à déterminer telle que
si elle est traitée 2 fois avec elle-même, il en vient 9	X + 2X = 9
Quelle est donc la quantité qui s'exprime ainsi ?	que vaut X ?
Tu dois faire en sorte de calculer le total de cette quantité
avec sa deuxième (quantité). Le résultat est 3.	X + 2X = 3X
Avec ces 3 tu dois trouver 9.	3X = 9
Le résultat est 3 fois.	9/3 = 3
Vois c'est 3 qui s'exprime ainsi.	X = 3
Tu trouveras cela correct	Vérification de l'énoncé avec le résultat. 3 + 2x3 = 9

Une seconde technique consistait à résoudre les problèmes par la méthode de la fausse position. C'est-à-dire que l'on attribuait à la quantité inconnue une valeur quelconque. Le résultat donné par cette valeur était évidemment faux mais pouvait être corrigé par la règle de proportionnalité inhérente aux équations linéaires. C'est bien cette propriété, fondée sur une méthode empirique, qui fut utilisée ici.

Exemple du problème R26 du papyrus Rhind

Une quantité (‘ḥ‘) à laquelle on ajoute ses 1/4 devient 15 (Soit X + 1/4X = 15).

Première étape: une valeur aléatoire est donnée à cette quantité, en l'occurrence 4. Le scribe calcule donc 4 + 1/4x4, dont le résultat ne sera évidemment pas 15 :

✔	1	4
✔	1/4	1
	1 + 1/4	5

Le résultat est 5.

Deuxième étape: le résultat n'est pas 15 mais 5. Quel est donc le rapport entre ces deux résultats ?

✔	1	5
✔	2	10
	3	15

Le rapport vaut 3. Par conséquent la relation entre notre valeur aléatoire 4 et la quantité ‘ḥ‘ vérifiant l'égalité posée dans le problème est 4x3 = ‘ḥ‘.

Troisième étape: calcul de 4x3

	1	3
	2	6
✔	4	12
	4	12

Le résultat est 12.

Quatrième étape: le scribe vérifie l'exactitude de sa solution par la vérification de l'égalité (soit 12 + 1/4x12 = 15)

✔	1	12
✔	1/4	3
	1 + 1/4	15

La quantité ‘ḥ‘ vaut bien 12 et ses 1/4 ajoutés à elle-même font un total de 15.

Problèmes apparentés à des équations du second degré

Certains énoncés posent le problème de la recherche d'une ou plusieurs quantités dont la somme des carrés est connue. Le papyrus 6619 de Berlin offre un très bon exemple du type de résolution par fausse position proposé par les anciens égyptiens, sous la forme d'un système équivalent à deux équations à deux inconnues.

Énoncé du problème

« Si on te dit : 100 coudées carrées sont divisées en deux surfaces (quantités ‘ḥ‘w dans le texte original), et 1 sur 1/2 1/4 est le rapport des côtés de la première surface (quantité) et de l'autre surface (quantité). Veuilles faire en sorte que je connaisse la quantité de ces surfaces. Le calcul de l'un des carrés est avec 1 et le calcul de l'autre est avec 1/2 1/4 de 1. Prends le 1/2 1/4 du côté de l'une des surfaces pour le côté de l'autre. Le résultat est 1/2 1/4. Multiplie le par 1/2 1/4. Le résultat est 1/2 1/16 pour l'aire de la plus petite surface. Si la quantité du côté du grand carré est 1, et que celle de l'autre est 1/2 1/4, et que tu fais la somme des deux carrés. Le résultat est 1 1/2 1/16 (le texte original contient ici une erreur puisqu'il est noté 1 1/4 1/16). Tu prends sa racine carrée. Le résultat est 1 1/4. Tu prends alors la racine carrée de 100. Le résultat est 10. Multiplie 1 1/4 pour trouver 10. Le résultat est la quantité 8 (pour le côté du grand carré). Tu feras le 1/2 1/4 de 8. Le résultat est la quantité 6 pour le côté du plus petit carré. »

Explication

Le problème est de trouver les aires de deux carrés différents dont la somme est égale à l'aire d'un carré de 100 coudées², le rapport des côtés de ces deux carrés étant de 1 pour (1/2 + 1/4).

Posons X la longueur du côté du petit carré, et Y la longueur du côté du grand carré. Par conséquent, l'énoncé serait traduit en langage algébrique moderne par X² + Y² = 100 et X/Y = 1/2 + 1/4.

Le scribe ne différencie pas deux variables. Les côtés des deux carrés étant liés par la relation 1 pour 1/2 + 1/4, il décide d'affecter la valeur 1 au côté du plus grand carré, et 1/2 + 1/4 au côté du plus petit. C'est la méthode de la fausse position déjà étudiée ci-dessus. Il calcule donc les aires des deux carrés : (1/2 + 1/4) ² et 1². Il obtient un total de 1 + 1/2 + 1/16. L'aire totale des deux carrés est donc de 1 + 1/2 + 1/16. Il en déduit le côté du carré équivalent à cette surface en extrayant la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16. Il vient 1 + 1/4. Or le côté du carré de départ est 10 (racine carrée de 100 effectuée par le scribe). Le rapport de 10 sur (1 + 1/4) est de 8. Ce ratio va nous permettre de réajuster les valeurs prises par fausse position : 1 x 8 et (1/2 + 1/4) x 8, soit 8 et 6. nous avons bien 6² + 8² = 100.

La surface d'un carré de 10 coudées de côté est donc équivalente à la surface totale de deux carrés dont les côtés sont respectivement de 6 et de 8 coudées.

Progressions arithmétiques et géométriques

Les rares papyrus mathématiques découverts jusqu'à présent ont révélé que les égyptiens avaient de très bonnes notions sur ce que les mathématiciens modernes nomment les suites et qu'ils savaient résoudre des problèmes à l'aide des progressions arithmétiques ou géométriques.

Progressions arithmétiques

Une progression arithmétique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en lui additionnant (ou en lui soustrayant) toujours la même valeur. Cette valeur est appelée en langage mathématique moderne, la raison. Par exemple, la suite {1; 3; 5; 7; 9} est une progression arithmétique de cinq termes dont la raison est 2.

Énoncé du problème R64 du papyrus Rhind

« Exemple de répartition de parts. Si on te dit: (on a) 10 héqat de blé pour 10 hommes. Et la différence entre un homme et son voisin se monte à 1/8 de héqat de blé. La répartition moyenne est de 1 héqat. Soustrais 1 de 10, il reste 9. Prendre la moitié de la différence qui est 1/16. Les 9 fois qui valent 1/2 1/16 de héqat sont à additionner à la répartition moyenne et tu dois soustraire 1/8 de héqat par homme, chacun pris jusqu'au dernier. À faire selon ce qui doit se produire. »

	1 1/2 1/16
	1 1/4 1/8 1/16
	1 1/4 1/16
	1 1/8 1/16
	1 1/16
	1/2 1/4 1/8 1/16
	1/2 1/4 1/16
	1/2 1/8 1/16
	1/2 1/16
	1/4 1/8 1/16
	10

Explication

Le problème consiste à partager 10 héqat de blé entre 10 hommes. On peut désigner leurs parts respectives par H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 et H10. Les 10 héqat de blé représentent le total des parts à distribuer. Nommons le S. Soit N le nombre de parts. Chaque homme ne possèdera pas la même quantité d'héqat. Pris dans l'ordre, chacun obtiendra 1/8 d'héqat de plus que son prédécesseur. Soit H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 et ainsi de suite, le dernier individu ayant la plus grande part. 1/8 représente la raison de la suite donc R = 1/8.

Le scribe détermine en premier lieu la valeur moyenne de héqat que l'on distribuera à chaque homme, soit S/N = 10/10 = 1. Ensuite, il calcule le nombre de différences effectuées sur l'ensemble des 10 individus. Il y en a N-1 = 10-1, soit 9. Il vient R/2 = 1/16, puis R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Le plus grand terme est donné par R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

On a donc les dix parts suivantes :

	H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
	H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
	H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
	H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
	H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
	H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
	H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
	H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16
	Total = 10

Par une méthode empirique, le scribe a donc retrouvé la propriété des progressions arithmétiques et appliqué les formules suivantes :

$\ H_{N}=(S/N)+(N-1)*R/2\,$

puis $\ H_{n-1}=H_{n}-r\,$

Progressions géométriques

Une progression géométrique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en le multipliant toujours par la même valeur. Par exemple, {1; 3; 9; 27; 81} est une progression géométrique de cinq termes dont la raison est 3.

Ce type de progression fut usité mais les documents manquent et il est impossible de se faire une idée précise quant aux connaissances que pouvaient en avoir le scribe. Les méthodes de multiplication et de division employées par les égyptiens sont fondées sur les puissances de deux, autrement dit une progression géométrique de raison 2, et sur les fractions 1/2, 1/4, 1/8 ... c'est-à-dire une progression géométrique de raison 1/2. Par ailleurs, le papyrus Rhind nous fournit l'unique exemple de problème basé sur l'application des progressions géométriques.

Énoncé du problème 79 du papyrus Rhind

Somme d'une progression géométrique de cinq termes, tels que le premier terme vaut 7 et le multiplicateur de chaque terme (la raison) vaut 7. Application à l'inventaire d'une maison :

✔	1	2801
✔	2	5602
✔	4	11204
	7	19607

	Maisons	7
	Chats	49
	Souris	343
	Malt	2401 (le scribe a noté 2301 par erreur)
	Héqat	16807
		19607

Instruments de mesures égyptiens

Les rares instruments de mesures égyptiens mis au jour sont des instruments de géométrie (règles, équerres), des outils d'arpentage (cordes à nœuds) et des horloges telles que les cadrans solaires et les clepsydres.

Règles égyptiennes

Coudée votive de Maya (Musée du Louvre)

Les règles de mesure égyptiennes les mieux conservées à ce jour sont des « coudées votives », retrouvées dans les demeures funéraires d'architectes ou de hauts fonctionnaires. Il semble que la symbolique l'ai emporté sur le côté pratique. Les imprécisions dans leurs conceptions et les divinités figurant à chaque graduation sont là pour attester que la vocation de ces objets n'était pas purement pratique mais, comme très souvent en Égypte antique, étroitement associée à la mythologie égyptienne.

Modèle de coudée votive (d'après Karl Richard Lepsius)

Modèle de coudée votive (principe de lecture)

Cadrans solaires et clepsydres

Représentation d'une clepsydre dans la tombe de Ramsès VI

Les connaissances mathématiques des anciens égyptiens, et plus particulièrement leur maîtrise du calcul volumique leur permirent d'élaborer la clepsydre qui, tout en proposant des mesures approximatives, fut le premier instrument du genre et le plus performant de son époque.

La conception des clepsydres du Nouvel Empire, au regard des témoignages de cette époque, obéit à quelques règles reposant sur l'observation. Le dignitaire Amenemhat déclara avoir découvert la durée variable de la nuit. Il proposa alors un ratio de la plus longue nuit sur la plus courte de 14/12.

De plus, la clepsydre de Karnak indique que le mois du solstice d'été est le 10^e mois de l'année civile. Pourtant, cet événement calendaire se situe sous le règne d'Amenhotep I^er, soit quelques 120 ans plus tôt. Il est très probable que cet instrument fut fabriqué suivant les consignes d'un document plus ancien. Il est dès lors très curieux qu'un tel instrument fut construit sans prendre la précaution ni le soin de synchroniser le calendrier avec la nuit la plus courte du solstice d'été.

La forme conique de la vasque avait pour but de pallier le changement de pression. La pression est plus forte lorsque la hauteur du niveau de l'eau est maximale. Sous cet effet, l'eau est évacuée plus rapidement. C'est pour cela que la vasque est plus large en son sommet. Le volume d'eau à évacuer est plus important puisque s'écoulant plus vite. Le diamètre du cône diminue avec le niveau de l'eau qui entraine une diminution de la pression. Le débit est ici plus faible. L'eau s'écoule alors plus lentement. Les égyptiens avaient donc pris pleinement connaissance de la notion de pression et tentèrent de corriger les erreurs de mesure qu'elle impliquait. Malgré cela, leurs observations, privées d'une théorie précise, ne purent que corriger approximativement les mesures. Les premières heures étaient un peu trop courtes tandis que les dernières un peu trop longues. Malgré ces remarques, la précision obtenue était tout à fait remarquable pour l'époque.

Les Égyptiens inventèrent deux types de cadran solaire : le premier était un instrument destiné à mesurer la longueur d'une ombre projetée sur une surface ; et le second, à mesurer le changement de direction prise par cette ombre.

Un extrait du texte « les prophéties de Néferti » témoigne que cette technique de mesure du temps était déjà connue au Moyen Empire.

Reconstitution de l'horloge solaire décrite à Abydos (règne de Séthi I^er)

La description d'un cadran solaire fut découverte dans le cénotaphe de Séthi I^er à Abydos.

Connu par les égyptiens sous le nom de Setjat (sṯȝ.t), l'instrument consistait en une planche allongée placée à l'horizontale (mrtwt) et d'une longueur de cinq paumes, dont l'une des extrémités était surmontée d'une pièce verticale (tp). À cette dernière était attachée une tige de bois (mrḫt) disposée perpendiculairement au porte-ombre. Quatre marques sur le cadran indiquaient les heures. En graduant arbitrairement la tablette à l'aide de trente unités égales, la première marque était située à douze unités de l'extrémité, la deuxième à vingt et une, la troisième à vingt-sept puis la quatrième à trente unités.

Pour indiquer les quatre premières heures, la tête devait être orientée vers l'est et la planche soigneusement nivelée à l'aide de fils à plomb accrochés à l'extrémité. Ces quatre heures passées, la tête était ensuite orientée vers l'ouest afin de mesurer les quatre heures suivantes. La mesure était donc limitée à ces huit heures. Le texte mentionne deux heures précédant la première mesure possible, c'est-à-dire les deux heures suivant le lever du soleil et les deux dernières heures précédent le coucher.

Sources

• Arnold Buffum Chace, The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations, vol. II, 1927-1929
• Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 1993
• Clagett Marshall, Ancient Egyptian Science, A Source Book, vol. 3 : Ancient Egyptian Mathematics, American Philosophical Society, 1999
• Kurt Vogel, Vorgriechische Mathematik, vol. I
• Michel Guillemot, « À propos de la géométrie égyptienne des figures », Sciences et Technique en Perspective, vol. 21,‎ 1992
• Ludwig Borchardt, Altägyptische Werkzeichnung, 1896
• Théophile Obenga, La Géométrie égyptienne, contribution de l'Afrique antique à la mathématique mondiale, Chez L'Harmattan, 1995
• Vasily Vasilievich Struve, Mathematischer Papyrus des Stastlichen Musuems der Scönen Künste in Moskau, 1930
• Hors série Science et Vie, Hommes, Sciences et Techniques au temps des Pharaons, décembre 1996.
• Hors série La Recherche, L'univers des nombres, août 1999.

Liens internes

• Histoire des mathématiques
• Papyrus Rhind

Liens externes

• Brève chronologie de l'histoire des mathématiques en Egypte