Fraction égyptienne

fraction de numérateur égal à un et de dénominateur entier strictement positif

Une fraction égyptienne, ou unitaire, est une fraction de numérateur égal à un et de dénominateur entier strictement positif.

Un problème classique est d'écrire une fraction comme somme de fractions égyptiennes avec des dénominateurs tous différents, que l'on nomme développement en fractions égyptiennes ou plus simplement développement égyptien.

Tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes. Par exemple .

Ce type de sommes, utilisé pour exprimer les fractions par les anciens Égyptiens, a continué à faire l'objet d'études lors de la période médiévale et lors de la période contemporaine. En notation mathématique moderne, les développements égyptiens ont été remplacées par les fractions ordinaires et la notation décimale. Néanmoins, ils continuent d'être un objet d'étude en théorie des nombres moderne et en mathématiques récréatives, aussi bien que dans les études historiques modernes des mathématiques anciennes.

Cet article résume ce qui est connu à propos des fractions égyptiennes à la fois anciennes et modernes. Pour les détails des sujets traités ici, voir les articles liés.

HistoireModifier

Les fractions dans l'Égypte antiqueModifier

 
Les balances mécaniques anciennes permettent de mesurer une masse sans étalon, en jouant sur la longueur du bras de levier. La masse est donc une fraction unitaire de la longueur du bras de levier.

Cette propriété a permis aux anciens Égyptiens d'exprimer simplement tous les nombres rationnels.

N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.

Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie, était utilisé pour représenter le numérateur 1 :

D21

Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit :

D21
Z1 Z1 Z1
 

Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaires 2/3 et 3/4 :

Aa13
   
D22
   
D23
 

Si le dénominateur devenait trop large, la « bouche » était placée juste au début du dénominateur :

D21
V1 V1 V1
V20 V20
V20 Z1
 

La « table de deux » du Papyrus RhindModifier

 
Le papyrus Rhind.

Le papyrus Rhind (vers environ -1650), qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte quatre-vingt-quatre problèmes résolus d'arithmétique, de géométrie et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'Égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite « des fractions doubles » ou « de 2/n », se trouve en première position sur le papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est deux et dont le dénominateur n varie de trois à cent-un, n impairs et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires[1].

Quelques exemples de décomposition en fractions unitaires de la table de deux :

2/5 → 1/3 + 1/15
2/7 → 1/4 + 1/28
2/9 → 1/6 + 1/18
2/11 → 1/6 + 1/66
2/101 → 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606.

Ces différents résultats furent obtenus par les anciens Égyptiens en appliquant la technique de la division.

Exemple de 2/5 :

1 5
2/3 3 + 1/3
1/3 1 + 2/3
1/15 1/3

1/3 + 1/15  2

(1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.

Exemple du papyrus RhindModifier

Le problème numéro vingt-quatre du papyrus est le suivant : Un nombre ajouté à son septième donne dix-neuf, quel est ce nombre ?

Sous forme symbolique moderne, la réponse est triviale : x + x/7 = 8x/7 = 19, soit x = 133/8.

Mais il y a 4 000 ans, le calcul fractionnaire et le symbolisme algébrique n'étaient pas vraiment au point. En fait, le problème n'est alors pas dans la résolution même de l'équation, mais dans la mise en équation et la difficulté d'aboutir, à défaut d'une démarche algébrique pratique, à la forme simple ax = b.

Pour cela les Égyptiens utilisaient la méthode dite de la fausse position. On appelle ainsi une méthode de résolution algébrique consistant à fournir une solution approchée (fausse) conduisant, par un algorithme approprié tirant parti de l'écart constaté, à la solution du problème considéré.

Dans notre exemple l'idée première est de se débarrasser du dénominateur gênant en choisissant sept comme solution approchée (fausse position) : le scribe obtient huit dans le calcul du nombre augmenté de son septième. Il utilise ensuite implicitement l'algorithme suivant (où x' = 7 et c = 8) :

Si ax = b et ax'= c alors ax/ax' = b/c soit x = x'(b/c)

C'est exactement ce qui est proposé dans le papyrus : on divise dix-neuf par huit, ce qui fournit 2 + 1/4 + 1/8 et multiplie le tout par 7 = 1 + 2 + 4, ce qui fournit (2 + 1/4 + 1/8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), soit 16 + 1/2 + 1/8.

Mathématiques médiévalesModifier

La notation sous forme de fractions égyptiennes a été utilisée pendant la période grecque et même au Moyen Âge (Struik 1967) en dépit des plaintes, dès l'Almageste de Ptolémée, à propos de la maladresse de cette notation comparée aux notations alternatives telles que la notation babylonienne en base soixante.

Le Liber abaci (1202) de Fibonacci contient plusieurs sections sur les mathématiques liées aux fractions égyptiennes. La plus connue de ces dernières est l'algorithme glouton pour les fractions égyptiennes (en) pour le calcul des fractions égyptiennes, par le choix répété de la fraction unitaire avec le plus petit dénominateur qui n'est pas plus grand que la fraction restante à développer[a].

Quelquefois, l'algorithme glouton de Fibonacci est attribué à Sylvester.

Dans le Liber Abaci, Fibonacci a écrit aussi à propos de la forme ascendante d'une fraction continue,

 

qui peut être réécrite comme dévelopement égyptien :

 .

Un développement de cette forme dans lequel les entiers ai sont croissants est appelé un développement en série de Engel. Chaque nombre rationnel possède un développement de Engel fini, tandis que les nombres irrationnels ont un développement de Engel infini.

Théorie des nombres moderneModifier

Les théoriciens des nombres modernes ont étudié beaucoup de problèmes différents reliés aux fractions égyptiennes[2], incluant les problèmes de borne pour la longueur ou de dénominateur maximum dans les représentations en fractions égyptiennes, la recherche de recouvrement ou de développements de certaines formes spéciales ou dans lesquels les dénominateurs sont tous d'un certain type spécial, l'arrêt de diverses méthodes pour les développements en fractions égyptiennes et ont montré que les développements existent pour un ensemble suffisamment dense quelconque de nombres suffisamment lisses. Des mathématiciens connus tels que James Sylvester, Solomon Golomb, Wacław Sierpiński, Paul Erdős, Ernst G. Straus, Ronald Graham, ou Gérald Tenenbaum ont contribué à ce champ de recherche.

AlgorithmesModifier

Obtenir un développement de   en fraction égyptienne[b] peut se faire grâce à différents algorithmes, qui donneront des résultats différents mais néanmoins valides.

Méthode élémentaireModifier

On peut obtenir le développement de la fraction   grâce à l'identité suivante[c]:

 

L'algorithme récursif suivant permet alors de trouver le développement cherché :

procédure Élémentaire 
      Si   : 
            Renvoyer  
      Sinon :
            Renvoyer   + Élémentaire  + Élémentaire 
fin-procédure

TerminaisonModifier

L'algorithme proposé se termine car la suite des numérateurs   est une suite d'entiers strictement décroissante et minorée par 1. L'algorithme s'achève donc en un nombre fini d'étapes.

CorrectionModifier

À l'issue de chaque étape, on a égalité entre   et une somme de fractions égyptiennes et d'une autre fraction. Lorsque l'algorithme termine, on a donc égalité entre   et une somme de fractions égyptiennes. L'algorithme est donc correct.

ExempleModifier

On veut le développement de   :

Étape Résultat
0  
1  
2  
Sortie  

Algorithme de Fibonacci-Sylvester (algorithme glouton)Modifier

On veut obtenir le développement de  , on peut pour cela utiliser l'algorithme glouton suivant :

procédure Fibonacci 
      Si   : 
            Renvoyer  
      Sinon :
            Déterminer le plus petit entier   qui est plus grand que  , soit  
            Renvoyer   + Fibonacci 
fin-procédure

Si, à chaque étape, on choisit le dénominateur :   à la place de  , on obtient le développement en série de Sylvester.

TerminaisonModifier

On a l'égalité   avec   (où   désigne la fonction plafond).

Or on a   et donc  . C'est-à-dire en simplifiant  . Une étape de l'algorithme renvoie donc la somme d'une fraction de numérateur 1 et d'une fraction dont le numérateur est un entier positif strictement plus petit que  . L'algorithme termine donc en un nombre fini d'étape[3].

CorrectionModifier

À l'issue de chaque étape, on a égalité entre   et une somme de fractions égyptiennes de dénominateurs distincts et d'une autre fraction. Lorsque l'algorithme termine, on a donc égalité entre   et une somme de fractions égyptiennes. L'algorithme est donc correct[3]. Cela a été démontré par Sylvester en 1880[4].

Avantages et inconvénientsModifier

L'algorithme de Fibonacci donne un développement qui peut contenir des dénominateurs de taille élevée, ainsi il donne[3]:

 

plutôt que :

 .

En revanche, l'algorithme de Fibonacci permet de comparer facilement deux fractions par ordre lexicographique de leurs développements égyptiens[3].

ExempleModifier

On veut le développement de   :

Étape Résultat
0   (avec  )
1  
Résultat  

Algorithme de GolombModifier

On souhaite écrire la fraction   comme somme de fractions égyptiennes. Sans perte de généralité, on peut supposer que   et   sont premiers entre eux. Le théorème de Bachet-Bézout permet d'affirmer qu'il existe deux entiers naturels premiers entre eux   et   tels que   et  . De tels nombres peuvent être obtenus en utilisant l'algorithme d'Euclide étendu. En divisant chaque membre par   on obtient donc  .

L'algorithme de Golomb est l'algorithme récursif suivant[3],[5]:

procédure Golomb 
      Si   : 
            Renvoyer  
      Sinon :
            Déterminer   et   tels que   et  
            Renvoyer   + Golomb 
fin-procédure

TerminaisonModifier

L'algorithme de Golomb termine car la suite des numérateurs   est une suite d'entiers strictement décroissante et minorée par 1. L'algorithme s'achève donc en un nombre fini d'étapes.

CorrectionModifier

À l'issue de chaque étape, on a égalité entre   et une somme de fractions égyptiennes et d'une autre fraction. Lorsque l'algorithme termine, on a donc égalité entre   et une somme de fractions égyptiennes. L'algorithme est donc correct.

Conséquence théoriqueModifier

Pour toute fraction  , il existe un développement en fractions égyptiennes dont tous les dénominateurs sont inférieurs ou égaux à  . C'est en particulier le cas du développement obtenu avec l'algorithme de Golomb[3].

ExempleModifier

On veut le développement de   :

Étape Résultat
0  
1   (avec  )
2   (avec  )
Résultat  

Algorithme d'Erdős et BleicherModifier

Erdős et Bleicher ont proposé d'introduire le produit des k premiers nombres premiers   comme intermédiaire de calcul, car ce sont des nombres pratiques. La fraction dont on cherche le développement égyptien n'est plus   mais  . L'algorithme qu'ils proposent est alors[3]:

procédure Erdős-Bleicher 
      Déterminer   tel que  
      Choisir un entier   tel que  
      Déterminer l'entier   tel que  
      Choisir une représentation de   et   comme sommes de diviseurs de respectivement   et  
      Renvoyer la somme des fractions simplifiées obtenues

Conséquence théoriqueModifier

Les sorties possibles de cet algorithme permettent de majorer le plus grand dénominateur du développement (voir infra)[3].

ExempleModifier

On veut le développement de   :

Étape Résultat
0   donc  
1 On choisit par exemple[d]   et  
2 On a  
3 On écrit  
Résultat Après simplification  

Cas où le dénominateur est une puissance de deuxModifier

Lorsque le dénominateur   est une puissance de 2, on peut trouver un développement de   grâce à l'écriture binaire de   (où les   valent tous 0 ou 1)[3]. Le développement obtenu est alors  .

ExempleModifier

On veut le développement de  . On a   donc  .

ApplicationModifier

Dans le cas où le dénominateur de   n'est pas une puissance de deux, on peut adapter l'algorithme précédent en déterminant le développement de    est la plus petite puissance de deux supérieure à  [3]:

procédure 
         Déterminer l'entier   tel que  
         Écrire   et tel que  
         Déterminer la décomposition binaire de  
         Simplifier les fractions de la somme et retourner le résultat
fin-procédure

Ainsi si on veut obtenir un développement égyptien de   on multiplie le numérateur et le dénominateur par   :

 

Avec cette méthode, le plus grand dénominateur du développement obtenu est inférieur à   et le nombre de terme est de l'ordre de   termes[3].

ComparatifModifier

Pour la fraction  , les algorithmes précédents donnent les développements égyptiens suivants :

Algorithme Résultat
Méthode élémentaire  
Algorithme de Fibonacci  
Algorithme de Golomb  
Algorithme d'Erdős-Bleicher[e]  
Décomposition binaire  

PropriétésModifier

Taille minimale du développementModifier

Il est possible pour n'importe quelle fraction d'obtenir un développement égyptien aussi grand que l'on veut en utilisant l'identité  .

Les algorithmes de Fibonacci et de Golomb[f] donnent un développement dont le nombre de terme est au plus égal au numérateur de la fraction initiale[3]. On peut cependant être plus précis. En effet il existe pour toute fraction   une représentation avec au plus   termes[6].

Il est conjecturé que pour tout entier   et pour tout  , la fraction   peut s'écrire comme la somme de   fractions égyptiennes dès lors que   est suffisamment grand[3]. D'autres conjectures plus spécifiques ont été émises.

Conjectures d'Erdős-Straus et de SierpińskiModifier

En 1948, Paul Erdős et Ernst G. Straus ont conjecturé que pour tout entier  ,   peut s'écrire comme somme de trois fractions égyptiennes[g]

 .

De même, Wacław Sierpiński a conjecturé en 1956 que pour tout entier  , il existe trois naturels  ,   et   tels que[g]:

 .

Aucune de ces deux conjectures n'est démontrée à ce jour, même s'il existe beaucoup de résultats assez forts concernant notamment la conjecture d'Erdős-Straus.

Plus grand dénominateurModifier

MajorantModifier

En étudiant les développements fournis par l'algorithme d'Erdős-Bleicher (voir supra), Yokota et Gérald Tenenbaum ont montré[3] que pour toute fraction  , il existe un développement égyptien dont le plus grand dénominateur est inférieur à  .

Ce résultat peut être raffiné. En effet une fraction   quelconque possède une représentation en fractions égyptiennes dans laquelle le dénominateur maximum est borné par[7]:

 

MinorantModifier

Pour une fraction égyptienne   dont le dénominateur est un nombre premier, le plus grand dénominateur de tout développement égyptien de   est supérieur à  , d'après un théorème montré en 1976 par Paul Erdős et Bleicher[3].

Problèmes de combinatoireModifier

  • La conjecture d'Erdős-Graham en théorie combinatoire des nombres établit que pour toute partition finie de l'ensemble des entiers supérieurs (ou égaux) à deux, l'une des parties peut être utilisée pour former développement égyptien du nombre un. C’est-à-dire, pour chaque r > 0, et chaque r-coloration des entiers supérieurs à deux, il existe un sous-ensemble monochromatique fini S de ces entiers tel que :
     .
    La conjecture a été démontrée en 2000 par Ernest S. Croot III (en).

Développements restreints à des dénominateurs particuliersModifier

  • Les nombres qui peuvent être représentés par des sommes de fractions égyptiennes dans lesquelles tous les dénominateurs sont des puissances n-ièmes. En particulier, un nombre rationnel q peut être représenté en somme de fractions égyptiennes avec des dénominateurs carrés si et seulement si q est situé dans un des deux intervalles demi-ouverts[8]:
     .

AutresModifier

  • Le problème de Znám (en) est intimement relié à l'existence des développements égyptiens de la forme :
     .
  • Un nombre rationnel quelconque possède des développements très denses, en utilisant une fraction constante de dénominateurs allant jusqu'à N pour un N suffisamment grand[9].

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Egyptian fraction » (voir la liste des auteurs).

NotesModifier

  1. Algorithme développé plus loin dans l'article (voir infra).
  2. Dans toute la section, on suppose  .
  3. Un algorithme analogue est fourni par l'identité  .
  4. On aurait aussi pu choisir r = 26 et s = 4
  5. Cet algorithme n'offre pas un développement unique, contrairement aux autres proposés dans l'article.
  6. (voir supra).
  7. a et b Contrairement aux développements égyptiens, dans les deux cas les nombres a, b et c ne sont pas nécessairement tous différents.

RéférencesModifier

  1. Michel 2014, p. 91-106.
  2. (en) P. Erdős et R. L. Graham, « Old and new problems and results in combinatorial number theory », Enseign. Math., vol. 28,‎ , p. 30-44 (lire en ligne).
  3. a b c d e f g h i j k l m n et o Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), I - Arithmétique de ℤ, chap. 2.3. (« Fractions égyptiennes »), p. 24-28
  4. http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL070.htm
  5. (en) Solomon W. Golomb, « An algebraic algorithm for the representation problems of the Ahmes Papyrus », Amer. Math. Monthly, vol. 69,‎ , p. 785-787.
  6. (Vose 1985)
  7. (Tenenbaum et Yokota 1990).
  8. (Graham 1964).
  9. (Martin 1999).

Ouvrages citésModifier

  • (en) T. Takenouchi, « On an indeterminate equation », Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3e série, vol. 3,‎ , p. 78-92
  • (en) R. L. Graham, « On finite sums of reciprocals of distinct nth powers », Pacific J. Math., vol. 14, no 1,‎ , p. 85-92 (lire en ligne)
  • (en) Truman Botts, « A chain reaction process in number theory », Mathematics Magazine,‎ , p. 55-65
  • (en) Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics, New York, Dover, , 228 p. (ISBN 0-486-60255-9, lire en ligne), p. 20-25
  • (en) M. Vose, « Egyptian fractions », Bull. London Math. Soc., vol. 17,‎ , p. 21
  • (en) G. Tenenbaum et H. Yokota, « Length and denominators of Egyptian fractions », J. Number Theory, vol. 35,‎ , p. 150-156
  • (en) Stan Wagon, Mathematica in Action, W. H. Freeman, , p. 271-277
  • (en) L. Beeckmans, « The splitting algorithm for Egyptian fractions », J. Number Theor., vol. 43,‎ , p. 173-185
  • (en) Greg Martin, « Dense Egyptian fractions », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 351,‎ , p. 3641-3657
  • Marianne Michel, Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes, Bruxelles, Safran, , 604 p. (ISBN 978-2-87457-040-7).
  • Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6)

Lien externeModifier

(en) Ron Knott, « Egyptian Fractions »,