Utilisateur:Anne Bauval/Brouillon4

En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème des bornes ou théorème des bornes atteintes[1] est un théorème de Weierstrass[2] de 1860 qui stipule qu'une fonction continue d'un segment dans l'ensemble des nombres réels est d'image bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, une telle fonction possède un minimum et un maximum sur ce segment.

Ce résultat repose sur la propriété de la borne supérieure dans l'ensemble des nombres réels mais se généralise aux fonctions continues d'un espace compact dans un espace totalement ordonné.

Énoncé

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Toute application f continue sur un intervalle [a ; b] de réels et à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes, autrement dit il existe deux réels c et d de l'intervalle [a ; b] tels que pour tout x de [a ; b], les inégalités suivantes soient vérifiées :

 

Remarques

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A priori, les valeurs de c et d ne sont pas uniques et rien n'indique que c soit inférieur ou supérieur à d.

Ce théorème, avec le théorème des valeurs intermédiaires, est à la fois suffisamment important pour qu'il soit impératif à la compréhension de la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et suffisamment complexe pour que sa démonstration soit omise dans les cours élémentaires (il n'est démontré que dans l'enseignement supérieur en France).

Si leurs démonstrations sont délicates c'est qu'elles font nécessairement appel à la topologie du corps des nombres réels.

Comme beaucoup de théorèmes fondés sur la topologie, il est intuitif : il signifie que toute fonction numérique définie et continue sur segment (c'est-à-dire un intervalle qui contient ses extrémités) atteint son maximum et son minimum.

On verra, dans les démonstrations, l'importance de se placer sur un intervalle fermé borné et de prendre une fonction continue.

Application

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Même dans sa version élémentaire, ce théorème suffit pour bâtir une des théories de base des mathématiques, à savoir l'analyse des fonctions réelles à variable réelle. Il est utilisé pour la démonstration du théorème de Rolle, qui permet de démontrer le théorème des accroissements finis, qui à son tour sert à l'analyse en développement limité d'une fonction et au théorème de Taylor.

Démonstration

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La démonstration suivante ne nécessite qu'une bonne connaissance des propriétés des réels. C'est la plus courante à quelques variantes près[3].

Notons M la borne supérieure de l'ensemble f ( [a,b] ) (au sens large a priori, c'est-à-dire que le sup d'un ensemble de réels non majoré vaut  ), et prouvons qu'elle est atteinte (donc en fait finie)

(Le résultat pour la borne inférieure s'en déduit en remplaçant f par -f, ou se démontre de même).

Par définition de M, il existe une suite de réels   telle que

 

D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass version réelle, comme   est bornée, elle possède une sous-suite convergente

 

et comme f est continue au point d, on a

 

si bien que M = f ( d ).

Généralisations

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Par le théorème de Borel-Lebesgue, l'intervalle [a,b] (muni de sa topologie usuelle) est un espace compact. Le théorème ci-dessus reste vrai lorsqu'on remplace ce segment par un espace compact E quelconque.

On peut d'autre part remplacer l'ensemble d'arrivée R de la fonction par un espace totalement ordonné F quelconque. On utilisera deux fois qu'un espace totalement ordonné compact (pour sa topologie de l'ordre) est un treillis complet.

La première des deux généralisations ci-dessous consiste à faire ces deux remplacements à la fois :

Toute application continue f d'un espace compact E dans un espace totalement ordonné F est bornée et atteint ses bornes.

La seconde généralisation est un cas particulier, où la topologie de E est supposée non seulement compacte mais induite par un ordre total. Autrement dit E est un treillis complet, ce qui permet faire l'économie des théorèmes sur la compacité.

Sur un compact

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L'image par une fonction continue d'un compact dans un séparé est un compact. En particulier, f(E) est un compact. Or sa topologie est induite par un ordre total. Par conséquent c'est un treillis complet, en particulier borné, c'est-à-dire que f(E) possède un plus petit et un plus grand élément.

Sur un compact totalement ordonné

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On suppose donc que E est un treillis complet, et l'on pose

 

Ce sup est en fait un max car D est non vide (il contient le plus petit élément de E) et fermé, puisqu'il s'écrit aussi

 

Comme f est croissante sur D, f(d) est donc l'élément maximum de f(D).

Pour tout élément x de E, l'ensemble des éléments y de E tels que f(y) ≥ f(x) est un fermé contenant x. Ce fermé possède donc un plus petit élément dx, qui par construction appartient à D, d'où

 
  1. Voir par exemple L. Esch, Mathématique pour économistes et gestionnaires (2006) De Boeck Université (ISBN 9782804151966) p. 130, ou A. K. Ben-Naoum, Analyse : premières notions fondamentales (2007) Presses univ. de Louvain (ISBN 9782874630811) p. 72
  2. Ce théorème est en effet parfois désigné sous ce vocable, bien qu'il existe plusieurs autres théorèmes dus au moins en partie au mathématicien Karl Weierstrass et qui portent également son nom (cf l'article dédié).
  3. La variante la plus fréquente utilise deux fois le même argument, en montrant d'abord que M est finie, et ensuite qu'elle est atteinte. On peut aussi, pour éviter le recours implicite à l'axiome du choix, utiliser les idées de la seconde généralisation présentée ici, ou procéder par dichotomie, comme dans C. Cagnac, E. Ramis et J. Commeau, Traité de mathématiques spéciales, 2, Analyse (1967) Masson, p. 92 à 95

Voir aussi

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