Utilisateur:Anne Bauval/''e''-ssai

Commentaires de Nefbor Udofix (d · c · b)

(→Motivation : retrait du paragraphe (affirmations hasardeuses, infondées pour certaines, et ensemble confus))

Cette dissertation, confuse et hasardeuse, n'apportait aucune information.

La configuration topologique d'un espace vectoriel E est relativement simple (Non-sens, voire affirmation incorrecte)

Elle correspond à de nombreux égards à celle du corps des nombres réels (Non, dimension topologique ?)

elle est la structure de prédilection de la branche des mathématiques nommée géométrie différentielle. (sens ?)

une topologie quelconque n'est pas utilisable (Contre-sens ou non-sens)

Elle doit nécessairement être compatible avec les spécificités de l'espace vectoriel (Termes incorrects, puis pas forcément, but recherché ?)

Surtout, le paragraphe ne donnait aucune motivation et juxtaposait seulement les résultats.

Tant qu'on ne traite pas de la dimension infinie, les normes et leur équivalence se suffisent à elles-mêmes : non, l'unicité est déjà jolie en dim finie

l'ensemble de l'article est décevant. Ensemble d'une grande confusion, trop de phrases évasives, des imprécisions, des passages douteux, et une organisation mal réfléchie qui ne met pas en valeur les résultats.

passages qui tombent comme un cheveu dans la soupe, comme l'exemple de l'application à la fusion nucléaire, sans rapport avec le sujet de l'article. Mentionner des applications en géométrie différentielle n'est pas absurde, encore faut-il le faire à bon escient : à vérifier

Motivation

-

Articles détaillés : Espace vectoriel normé et norme (mathématiques).

- - La configuration topologique d'un espace vectoriel E est relativement simple si le corps dispose des bonnes propriétés et si la dimension de l'espace est finie. - - Elle correspond à de nombreux égards à celle du corps des nombres réels. Les compacts se caractérisent aisément, ce sont les fermés bornés. L'espace est complet et les applications classiques, par exemple linéaires ou multilinéaires, sont continues. L'étude des fonctions de E dans un espace vectoriel topologique permet de généraliser bon nombre de résultats obtenus dans le cadre des fonctions réelles de la variable réelle ; elle est la structure de prédilection de la branche des mathématiques nommée géométrie différentielle. - - Pour établir ces propriétés, une topologie quelconque n'est pas utilisable. Elle doit nécessairement être compatible avec les spécificités de l'espace vectoriel. Ceci signifie que la topologie est choisie de telle manière à ce que les lois de composition de E : l'addition et la multiplication externe soient continues. Une manière simple de construire une telle topologie consiste à équiper l'espace d'une norme. Une telle structure porte le nom d'espace vectoriel normé. La dimension finie implique que, du point de vue topologique, le choix de la norme n'a guère d'importance, elles se ressemblent toutes. En terme précis, elles sont dites toutes équivalentes. Toutes ces normes disposent de la même topologie sous-jacente, et, fait remarquable, il n'existe qu'une unique topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel.

Ces propriétés ne sont vraies que si le corps sous-jacent est bien choisi. Tel est le cas s'il est égal à celui des nombres réels ou complexes. Dans le cas général, il doit posséder trois propriétés. Il existe une valuation, analogue à la valeur absolue des réels ou du module d'un complexe. Il est complet et enfin localement compact c'est-à-dire que la boule unité fermée est compacte.

De grands théorèmes concernent la topologie d'un espace vectoriel de dimension finie. Un exemple est donné par le théorème de Brouwer stipulant que toute application continue de la boule unité dans elle-même possède un point fixe.

Dans cet article E désigne un espace vectoriel de dimension finie n. Le corps sous-jacent à l'espace vectoriel E est noté K, il désigne soit R soit C le corps des nombres complexes. L'espace E est équipé d'une norme c'est-à-dire d'une application de E dans les valeurs positives de R (l'ensemble des nombres réels) ayant les trois propriétés de séparation, d'homogénéité et de sous-additivité. B désigne une base de E dont les éléments sont notés (e_i).

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10 novembre 2009 14:20 m (→Compacts de Rn : Non-sens)

Compacts de l'ensemble des nombres réels modifier

- Les compacts disposent de nombreuses propriétés. Supprimé "Elle permettent parfois d'élucider une structure topologique." Tel est le cas ici.

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10 novembre 2009 à 14:25 (→Équivalence des normes : Non-sens)

Article détaillé : Norme équivalente.

Supprimé "La caractérisation des compacts de Rⁿ permet d'étudier les propriétés de toutes les normes de E." L'application linéaire qui à un vecteur de E associe ses coordonnées dans la base B transportent la norme de Rⁿ dans E.

10 novembre 2009 à 14:33 m (→Conséquences : Non-sens + une precision)

Complétude et fermeture modifier

Supprimé "Les conséquences de l'équivalence des normes sont nombreuses." En particulier, un espace normé de dimension finie possède les mêmes propriétés que l'espace Rⁿ muni de la norme produit

Proposition 1 — Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

donc pour n'importe quelle norme puisque toutes sont équivalentes. Supprimé "L'isométrie entre cet espace et l'espace de même dimension permet de conclure."

La condition suivante est largement utilisée pour établir la continuité d'une application à valeurs dans un espace de dimension finie, par exemple d'une fonction de R dans E. Supprimé "La cinématique du point offre beaucoup d'exemples de cette nature."

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10 novembre 2009 à 14:42

(→Unicité : retrait de la démonstration (comporte des fautes + passages inutilement compliqués))

Remplacer l'énoncé par : sur un corps valué complet non discret, ..., et tout sev de dim finie d'un evt séparé est fermé. _________________________________________

10 novembre 2009 à 14:51 (erreurs + non-sens dans l'introduction + à recycler !)

- En mathématiques, la topologie d'un espace vectoriel de dimension finie correspond à un cas particulier d'espace vectoriel normé. Supprimé "Cette configuration se produit si la dimension est finie." (si bien qu'on perd le lien vers dimension)

Remplacé "Elle diffère du cas général au sens où il n'existe qu'une topologie compatible avec les lois de l'espace vectoriel. De plus, toutes les normes sont équivalentes." par "Toutes les normes sont équivalentes."

Remplacé "Elle confère un statut d'espace complet à l'ensemble," par "Un espace vectoriel norme de dimension finie est un espace complet"

Extraits librement remaniés de Projet:Mathématiques/Le Thé#Besoin d'aide sur les séries formelles et les extensions algébriques modifier

Ma question modifier

Je suis sur un os dans Théorème d'Eisenstein, même après avoir fait Théorème de Puiseux (à grand peine, et mal pour l'instant) : j'ai lu dans 2 publis qu'il était "bien connu et facile à voir" que si une série ~~entière~~ formelle f (dans L[[X]], où L est une extension de K) est algébrique de degré n sur ~~K[X]~~ K(X), alors l'extension de K engendrée par les coefficients de f est de degré majoré par n, et je ne vois pas pourquoi (il faut peut-être supposer que la caractéristique est 0). C'est peut-être même vrai si f est algébrique (de degré n) sur ~~K[[X]]~~ K((X)) mais pour Eisenstein, il me suffirait de comprendre pourquoi c'est vrai si f est algébrique (de degré n) sur K.

Réponse reçue modifier

J'espère que l'auteur ne sera pas froissé par cette copie et ces remaniements — suppressions et ajouts — par lesquels j'essaye d'assimiler pas à pas sa réponse.

Soit f ∈ L[[X]] algébrique de degré n sur K((X)) et notons a_i les coefficients de f (ajout : on montre alors facilement, par récurrence sur i, que tous les a_i sont algébriques sur K).

Supposons L/K séparable et même, que K est de caractéristique 0.

En reprenant la démonstration de la construction de van der Warden, on voit que si f est un polynôme alors les a_i appartiennent à K(X, f). Pour généraliser, voici un argument :

Soit T(X, Y) ∈ K[[X]][Y], de degré n en Y, tel que T(X, f(X)) = 0. Alors

T_X(X, f(X)) + T_Y(X, f(X)) f'(X) = 0, (*)

où T_X et T_Y sont les dérivées partielles par rapport à X et Y. Or T_Y ≠ 0 (ajout : en utilisant que K est de caractéristique 0) donc par définition de n, T_Y(X, f(X)) ≠ 0. De (*) on déduit que f'(X) est élément de K((X))(f) donc algébrique sur K((X)). De proche en proche :

K((X))(f) ⊃ K((X))(f') ⊃ K((X))(f") ⊃ …

Maintenant supposons, en vue d'obtenir une contradiction, que pour un certain k, l'extension de K engendrée par a₀, … a_k soit de degré > n. Il existe un générateur de cette extension de la forme θ = P(a₀, … , a_k), où P est un polynôme en k + 1 variables à coefficients dans K. Posons (ajout : en utilisant à nouveau que la caractéristique est 0)

g = P(f, f', f" / 2!, … , f^k / k!) ;

g est dans K((X))(f) et g(0) = θ. Soit R(X, Y) un polynôme minimal de g (ajout : donc de degré au plus n en Y) à coefficients dans K[[X]]. On peut supposer que R(0, Y) ≠ 0. Comme R(0, g(0)) = 0, il s'ensuit que θ est de degré au plus n, une contradiction.

N.B. Je suis bien persuadé qu'il doit exister une démonstration qui marche en caractéristique p (on voit assez bien que la raison pour laquelle celle-ci ne marche pas est accidentelle). Je pense aussi qu'il doit y avoir une démonstration théorique plus simple ; par exemple, d'après un théorème bien connu (cf. th. 2 du chap. 2 du livre d'Artin), si M est une extension finie de K((X)), alors M est complet pour la valuation X-adic, d'où l'on peut déduire que M = N((X)), où N est l'intersection de L avec M.

Ce qu'elle m'inspire modifier

(explicité un peu, après lecture du commentaire)

Supposons L/K galoisienne. Pour éviter les dérivées et donc les factorielles, définissons g par

f = a + Xg avec a = a₀ et g ∈ L[[X]] donc ses conjugués sur K((X)) aussi (bluff1, justifié ci-dessous) ou au moins : ils ne sont pas de la forme g + c/X avec c élément non nul de L (bluff1bis).

En reprenant la démonstration de la construction de van der Warden — appliquée, avec les notations de l'article, à λ = 1/X, α = g et β = a, qui par hypothèse est séparable sur K — on voit que a et g appartiennent à K((X))(f/X) = K((X))(f) (immédiat, sous réserve du bluff1bis).

Ainsi, de proche en proche, a₀, a₁, … appartiennent à K((X))(f) (immédiat)

donc l'extension de K qu'ils engendrent est de degré n (bluff2, justifié ci-dessous).

Nouvelle réponse modifier

Copiée avec, comme pour la précédente, de nombreux retraits et ajouts, mais non signalés cette fois.

Bonjour. Je me suis permis d'introduire un commentaire. Mais il m'est ensuite venu à l'idée une preuve plus propre du résultat :

On suppose toujours les a_i séparables sur K mais on note maintenant L l'extension qu'ils engendrent et L' sa fermeture galoisienne.

Montrons d'abord que L/K est finie. Sinon, l'ensemble { σ|_L : σ ∈ Gal(L'/K) } serait infini. Or un σ ∈ Gal(L'/K) induit canoniquement un automorphisme σ de L'((X))/K((X)) et si deux σ sont distincts sur L, ils sont distincts sur { a_i } donc leurs σ(f) sont distincts. Mézalor f a une infinité de conjugués, une absurdité. Donc L/K est finie.

Puis on utilise le théorème connu que j'ai rappelé plus haut, ce qui donne : LK((X)) est complet pour la valuation X-adic. Il s'ensuit immédiatement que LK((X)) = L((X)). De même, puisque L'/K est finie, on a L'K((X)) = L'((X)).

On va montrer que LK((X)) est inclus dans (donc égal à) K((X))(f), ce qui prouvera que le degré de L/K est n, puisque — K((X)) et L étant linéairement disjoints sur K — ce degré est égal à celui de LK((X))/K((X)).

Il suffit pour cela de compléter la preuve ci-dessus du fait que tous les a_i appartiennent à K((X))(f), en justifiant le « bluff1bis » et même le « bluff1 », c'est-à-dire en montrant que tous les conjugués sur K((X)) de g = (f – a₀)/X sont dans L' [[X]]. Plus généralement, tout conjugué d'un élément de L' [[X]] est dans L' [[X]]. En effet, puisque L'((X)) = L'K((X)) et que L'/K est galoisienne, tout automorphisme de L'((X))/K((X)) est de la forme σ évoquée plus haut.

Quant à moi, ce que tout cela m'inspire peut être résumé dans :

soit K un corps, et K_s sa clôture séparable. Alors toute extension finie M de K((X)), intermédiaire entre K((X)) et K_s((X)) est de la forme L((X)), avec L = M ∩ K_s. De plus,

L((X)) = K((X))L ;

la fermeture galoisienne de M sur K((X)) est incluse dans K_s((X)) ;

si { a_i } est un ensemble dénombrable d'éléments de L engendrant L, alors l'élément f = a₀ + a₁X + a₂X² + . . . est un élément primitif de M/K((X)).

Ça m'inspire beaucoup modifier

Notons n = [M:K((X))] et L l'extension de K engendrée par les coefficients des éléments de M (on verra plus loin que M = L((X)), si bien que le « engendré par » est en fait superflu et que par ailleurs, L = M ∩ K_s).

Montrons d'abord que [L:K] ≤ n. Tout K-plongement σ de L dans K_s s'étend fonctoriellement en un K((X))-plongement σ((X)) de L((X)) dans K_s((X)). Notons σ la restriction à M de σ((X)). L'application qui à σ associe σ est injective donc [L:K] = [L:K]_s ≤ [M:K((X))]_s ≤ n.

En particulier, [L:K] est fini. On en déduit que [L((X)):K((X))] ≤ [L:K], puisque toute partie génératrice finie du K-e.v. L est génératrice du K((X))-e.v. L((X)). (On a même égalité, en raisonnant sur les bases, mais cela résulte aussi de ce qui suit.)

Bilan :

n = [M:K((X))] ≤ [L((X)):K((X))] ≤ [L:K] ≤ [M:K((X))]_s ≤ n.

Autrement dit : M = L((X)), [L:K] = n et M/K((X)) est séparable.

Le début de ce § montre en outre que les n K((X))-plongements de M dans sa clôture algébrique ne sont autres que les σ donc sont à valeurs dans K_s((X)).

Enfin, soient F un ensemble d'éléments de M, A l'ensemble de leurs coefficients, et M' = K((X))(F). D'après ce qui précède, M' est de la forme L'((X)) avec, par conséquent, A inclus dans L'. Si A engendre L (sur K) alors L' = L donc M' = M, c'est-à-dire que F engendre M (sur K((X))). Réciproquement, si F engendre M alors A engendre L.