Discussion utilisateur:Anne Bauval/''e''-ssai

Commentaire

Je crois que vous avez trouvé la généralisation de ma première idée que je cherchais (l'autre idée n'était pas vraiment une généralisation). Résumons et essayons de rédiger une démonstration rigoureuse : On suppose seulement f séparable sur K((X)). Soit f = a₀ + a₁X + . . . , et P(Y) = P(X, Y) le polynôme minimal de f sur K[[X]]. On peut supposer P(0,Y) non identiquement nul. Comme a₀ est racine de P(0, Y), il est algébrique sur K. Donc g = (f - a₀)/X est algébrique sur K((X)). Soit M = K((X))(a₀, g). Alors M/K((X)) est finie. De plus, avec la construction de Van der Waerden, on voit que l'élément f = a₀ + X g est un élément primitif de M/K((X)) (avec les notations dans la preuve de l'article, l'ensemble fini des éléments interdits est de la forme (a₀⁽ⁱ⁾ - a₀)/(g - g^(j)), or val_X(g - g^j) ≥ 0 (*), donc val_X( 1/(g - g^j) ) ≤ 0). Ainsi, a₀ et g sont éléments de K((X))(f), donc etc.

(*)Zut, j'ai failli manquer cette finesse : il faut montrer que la valuation des conjugués de g est, comme celle de g, ≥ 0. Ça paraît évident, mais je ne vois pour le moment qu'une justificiation si f (et donc g) est entier sur K[[X]] (si v est une valuation, et w une valuation au dessus de v, alors l'anneau de valuation de w contient la fermeture intégrale de celui de v dans son corps des fractions).

Nouveau commentaire

Suite à la nouvelle réponse.

Bravo pour cette nouvelle formulation de la preuve, qui, assurément, doit tout (ou presque) à son auteur.

Te moque pas ! j'ai juste « poli », pour mieux la comprendre petit à petit, ta preuve, à laquelle ma seule contribution a été ce §.

Je me permet de faire une nouvelle formulation de cette preuve.

plus exactement : d'y insérer quelques détails sur notre vécu, qui mettent en évidence que toutes les idées sont de toi. Ça n'intéresse probablement que nous deux mais d'accord, allons-y.

Pour cela, rappelons que la traduction mathématique exacte de la première chose exposée lors de ma toute première communication est :

En notant L le corps engendré par les coefficients de f, on peut, en utilisant la construction de Van der Waerden, montrer que f est un élément primitif de L((X))/K((X)) (Bluff à justifier, mais vrai si f est un polynôme).

plus exactement : tu faisais remarquer que si f est un polynôme et si L/K est séparable alors f est un élément primitif de L(X)/K(X).

Maintenant, on se propose de montrer le résultat suivant, en supposant les coefficients de f séparables sur K :

K((X)(f) = K((X))L = L((X)). Cela implique le résultat cherché (et plus) car K((X)) et L sont linéairement disjoints.

Montrons d'abord que L/K est finie. Sinon, l'ensemble { σ|_L : σ ∈ Gal(L'/K) } serait infini. Or un σ ∈ Gal(L'/K) induit canoniquement un automorphisme σ de L'((X))/K((X)) et si deux σ sont distincts sur L, ils sont distincts sur { a_i } donc leurs σ(f) sont distincts. Mézalor f a une infinité de conjugués, une absurdité. Donc L/K est finie.

Puis on utilise le théorème connu que j'ai rappelé plus haut, ce qui donne : LK((X)) est complet pour la valuation X-adic. Il s'ensuit immédiatement que LK((X)) = L((X)). De même, puisque L'/K est finie, on a L'K((X)) = L'((X)).

Je me permet d'observer d'ailleurs que cet ingrédient était déjà cité dans ma première communication. L'idée d'utiliser les automorphismes de Galois l'était aussi de façon implicite (c'est pour cette raison que j'avais essayé de montrer la généralisation du résultat précédent avec K_s à la place de L, comme je l'avais indiqué (mais qui s'avère faux) et c'est pour cette raison que j'ai si rapidement produit les arguments ci-dessus).

On va montrer que LK((X)) est inclus dans (donc égal à) K((X))(f).

Il suffit pour cela de compléter la preuve du fait que f est un élément primitif de LK((X))/K((X)), en justifiant le « bluff » ci-dessus, c'est-à-dire en procédant comme dans la preuve de la construction de van der Waerden.

plutôt : en l'appliquant telle quelle, et le bluff que ça justifie est juste mon bluff1.

C'est indiqué dans le commentaire ci-dessus,

dont qq détails sont rectifiés ici (prendre λ = 1/X au lieu X + pas f séparable mais ses coeffs)

qui reprend, en soulignant qu'il s'agissait de sa découverte, l'idée de Anne de remplacer a₀ + a₁X + . . . + a_kX^k par a₀ + Xg (je suis de plus convaincu qu'il existe une preuve indépendante de la théorie ci-dessus, probablement simple, comme j'ai essayé de le suggérer en expliquant que le résultat était vrai si f est entier sur K[[X]]).

suis comme toi convaincue depuis le début — par ce que j'ai appris lors de mes anciens ajouts dans théorème de Puiseux et qui est lié à cette « suggestion » — que mon « bluff1 » doit être sourçable de façon plus générale.

Le fait que tous les conjugués de g sont dans L' [[X]] est maintenant évident puisqu'il est clair que tous les automorphismes de L'((X))/K((X)) sont de la forme σ ci-dessus.

Sauf erreur encore possible, le cas ou K est de caractéristique >0 a donc été vaincu (le cas de caractéristique 0 avait, on s'en souvient à peine, déjà été traité par une méthode simple).

Je n'avais que de bonnes intentions en cherchant à aider, mais j'ai l'impression d'avoir échoué (je n'ai par exemple pas pu apporter de sources). Il ne me reste plus qu'à souhaiter bonne chance à Anne pour la rédaction de ses articles.

« ses articles » n'a pas de sens sur WP, et je n'ai aucune intention de publier ta preuve moi-même, ni sur WP ni (encore moins !) ailleurs.

Merci pour ta patience et tes explications, à la demande, qui m'ont vraiment aidée à comprendre complètement. Si j'avais relégué ici ton premier « commentaire », c'est parce qu'il gênait ma lecture du reste : cette partie m'était claire dès le début de ta 1^re réponse. C'est pourquoi je l'avais remplacé par « un peu d'explicitation » de ma pensée inaboutie : découpage entre immédiat (pour moi)(=fait, essentiellement par toi) et bluff (de ma part)(=restant à faire, et que tu as fait).

Il me reste une frustration : malgré ma lecture attentive de la construction de vdW, ne pas arriver à en tirer une formule explicite exprimant l'hypothèse de séparabilité de a₀ puis son appartenance à K((X))(f), à partir des coefs de P(X, Y).

P.S. remarquant que tu esquives maintenant le vouvoiement, j'ai pris l'initiative du tutoiement, mais si ça te gêne je peux changer.

P.S.2 Le début de ta « Nouvelle réponse » suffisait à répondre à ma question initiale car il montre en fait que le degré séparable de L est majoré par le nombre de conjugués de f donc par n.

P.S.3 Dans tes compléments, il y a plus élémentaire que le « théorème bien connu » : toute partie génératrice finie de l'e.v. L sur K engendre l'e.v. L((X)) sur K((X)) (ça s'écrit tout seul).

Bonjour Anne. Je répond dans le désordre. À la vérité, je n'ai pas cherché à éviter le vouvoiement, et ça ne me gène absolument pas qu'on me tutoie. C'est tout simplement une question superficielle d'éducation (la mienne est probablement un peu vieille France). J'ai bien essayé jadis de tutoyer, mais je reviens sans cesse ou vouevoiment : j'y ai donc renoncé une fois pour toute. Si vous tenez vraiment à accorder une signification à cela, n'y voyez qu'une marque de respect.

Pour ce qui est de vos insertions ci-dessus, la troisième, au moins est un peu discutable, surtout qu'avant même de poster ma première réponse, j'avais cherché un moment à obtenir a₀ comme fonction polynomiale de f en posant f = f_k + X^k+1g, ou f_k est la partie polynomiale de f jusqu'à l'ordre k. Mais comme vous l'avez observé, c'est un peu ridicule de discuter de "qui a fait quoi" dans un exercice élémentaire qui restera probablement entre nous deux. D'ailleurs, si j'ai posté ce nouveau commentaire, ce n'est que parce que j'ai eu la forte impression que vous vous étiez piquée, dans votre nouvelle réponse, de ce que vous pensiez que je vous avais rendu insuffisamment hommage pour votre heureuse idée.

Sur un autre registre, c'est vrai que l'utilisation de Van der Waerden fait un peu "cambouis" comme vous dites, mais je crois qu'une astuce algébrique est inévitable pour prouver que f est un élément primitif. Mais on peut en tout cas extraire l'argument de 3 lignes de la démonstration de V.D.W pour rédiger une preuve élémentaire véritablement propre du résultat. Je me dis aussi que tout cela pue le lemme d'Hensel à plein nez, mais je ne vois pas comment s'en servir pour le moment (le théorème de cette section peut être instructif).

Obtenir a₀ en fonction explicite de f me paraît impossible : En supposant pour simplifier que f soit un polynôme, on se retrouve dans le cas classique où il s'agit d'obtenir un élément d'une partie génératrice finie en fonction d'un élément primitif construit sur cette partie.

Pour finir, je suis d'accord avec vous que ses articles n'a pas de sens sur Wikipédia, mais c'est une facilité de langage, tout comme sa preuve, son idée etc. Par ailleur, je ne suis pas aussi fin que vous le pensez peut-être, et je n'insinuais pas que vous pourriez avoir l'intention de puplier cette preuve ici ou ailleurs (si vous l'aviez fait, j'en aurais d'ailleurs été flatté). Et quelque impression que j'ai pu donner de moi ailleurs, je ne me spécialise pas dans la publication de petits théorèmes mignons qui font figure d'exercices (j'en ai un millier dans mon tiroir), à moins que j'estime qu'il y aurait vraiment intérêt à les inclure dans les ouvrages élémentaires. Bonne chance, à nouveau.

P.S: Effectivement, je me disais bien que le théorème "connu" était plus compliqué qu'il ne le fallait, puisque tout est décomposable pour les séries formelle. Mais je pensais que c'était plus technique. Merci d'avoir observé cela (ce n'est pas de la politesse, je suis réellement reconnaissant aux personnes qui m'enseignent quelque chose ; ça me permet aussi de faire la balance s'ils font quelque chose qui me déplaît, une approche philosophique que je conseille à qui veut entendre).

(probablement) dernier commentaire

Sur la section Ça m'inspire beaucoup.

« Par ailleurs, M est inclus dans L((X)) car pour tout entier relatif k, L est aussi le corps des coefficients de degré k des éléments de M (puisque M est stable par produit par les puissances de X). »

J'ai mis quelques instants à comprendre. Super ! un plaisir de lire cette preuve en rentrant de week-end.

N.B : pour les étudiants qui n'auront pas suivi toute la démarche de l'obtention de cette preuve, il faudrait probablement détailler un peu plus la preuve.

Je n'ai pas en vue d'étudiants à qui raconter ça. Je viens de rectifier (toutes ?) mes erreurs dans ce §, si bien qu'à présent c'est par définition de L que M est inclus dans L((X)). Je crois qu'au contraire, avoir en tête, comme nous, « toute la démarche de l'obtention » de la preuve précédente, handicaperait quelqu'un voulant comprendre celle-ci (qui n'utilise pas vdW).

Oui, la preuve a maintenant atteint sa forme achevée. En disant "plus détaillé", je voulais seulement dire que des expressions comme "Tout K-plongement σ de L dans K_s s'étend fonctoriellement en un K((X))-plongement σ((X)) de L((X)) dans K_s((X))" pourraient paraître sibyllines aux personnes ayant un bagage mathématique très/assez limité (c'est d'ailleur la seule chose qui reste pouvant éventuellement être détaillée). Maimonid (discuter) 18 mai 2015 à 07:55 (CEST)