Sur quelques points d'algèbre homologique
Sur quelques points d'algèbre homologique est un article d'Alexandre Grothendieck[1], souvent désigné dans le monde anglophone sous le nom the Tôhoku paper, publié en 1957 dans le Tôhoku Mathematical Journal . Il a révolutionné le sujet de l'algèbre homologique, un aspect purement algébrique de la topologie algébrique[2]. Cela a supprimé la nécessité de distinguer les cas de modules sur un anneau et de faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique[3].
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Contexte autour de l'article modifier
Le contenu de l'article date de l'année 1955 lorsque Grothendieck était à l'université du Kansas. Ses recherches lui ont permis d'axiomatiser l'algèbre homologique en introduisant le concept de catégorie abélienne[4],[5].
Un manuel d'algèbre homologique, le Cartan-Eilenberg d'après les auteurs Henri Cartan et Samuel Eilenberg, parut en 1956. L'œuvre de Grothendieck en était largement indépendante. Son concept de catégorie abélienne fut partiellement anticipé par d'autres[6].
David Buchsbaum dans sa thèse de doctorat supervisée par Eilenberg avait introduit une notion de « catégorie exacte » qui était proche de celle de catégorie abélienne (n'ayant besoin que de sommes directes pour être identiques) ; et avait formulé l'idée de morphismes « suffisamment d'injectifs »[7].
L'article de Tôhoku contient un argument pour prouver qu'une catégorie de Grothendieck (un type particulier de catégorie abélienne, le nom venant plus tard) a suffisamment de morphismes injectifs ; l'auteur ayant indiqué que la preuve était de type standard[8]. En montrant par ce moyen que les catégories de faisceaux de groupes abéliens admettaient des résolutions injectives, Grothendieck est allé au-delà de la théorie disponible chez Cartan-Eilenberg, pour prouver l'existence d'une théorie de cohomologie en toute généralité[9].
Développements ultérieurs modifier
Après le théorème de Gabriel-Popescu de 1964, on savait que toute catégorie de Grothendieck est une catégorie quotient d'une catégorie de module[10].
Cet article permit également introduire la suite spectrale de Grothendieck associée à la composition des foncteurs dérivés[11].
En reconsidérant plus avant les fondements de l'algèbre homologique, Grothendieck a introduit et développé avec Jean-Louis Verdier le concept de catégorie dérivée[12]. La motivation initiale, telle qu'annoncée par Grothendieck au Congrès international des mathématiciens de 1958, était de formuler des résultats sur la dualité cohérente, désormais sous le nom de « dualité de Grothendieck »[13].
Références modifier
- [1]
- Sooyoung Chang, Academic Genealogy of Mathematicians, World Scientific, (ISBN 978-981-4282-29-1, lire en ligne), p. 115
- Jean-Paul Pier, Development of Mathematics 1950-2000, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-3-7643-6280-5, lire en ligne), p. 715
- Pierre Cartier, Luc Illusie, Nicholas M. Katz, Gérard Laumon et Yuri I. Manin, The Grothendieck Festschrift, Volume I: A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-0-8176-4566-3, lire en ligne), vii
- Piotr Pragacz, Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-3-7643-7214-9, lire en ligne), xiv–xv
- « Tohoku in nLab » (consulté le )
- I.M. James, History of Topology, Elsevier, (ISBN 978-0-08-053407-7, lire en ligne), p. 815
- Amnon Neeman, Triangulated Categories, Princeton University Press, (ISBN 0-691-08686-9, lire en ligne), p. 19
- Giandomenico Sica, What is Category Theory?, Polimetrica s.a.s., , 236–7 p. (ISBN 978-88-7699-031-1, lire en ligne)
- « Grothendieck category - Encyclopedia of Mathematics » (consulté le )
- Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-55987-4, lire en ligne), p. 150
- Ravi Vakil, Snowbird Lectures in Algebraic Geometry: Proceedings of an AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference on Algebraic Geometry : Presentations by Young Researchers, July 4-8, 2004, American Mathematical Soc., , 44–5 p. (ISBN 978-0-8218-5720-5, lire en ligne)
- Amnon Neeman, "Derived Categories and Grothendieck Duality", at p. 7
