Sous-additivité

En mathématiques, une fonction f est dite sous-additive lorsque, pour tous les éléments x et y, f(x + y) ≤ f(x) + f(y).

Cela n'a de sens que si l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée de la fonction sont munis chacun d'une addition +, et si l'ensemble d'arrivée est muni d'une relation d'ordre ≤.

Plus généralement, toute fonction concave $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ telle que $f(0)\geq 0$ est sous-additive^[1].

Exemples

Le module dans $\mathbb {C}$ (par inégalité triangulaire).
Les normes dans des espaces vectoriels normés.
La fonction $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+},$ $x\mapsto \mathrm {ln} (1+x)$ .
Les fonctions puissances $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+},\ x\mapsto x^{a}$ d'exposant $a\in \left[0,1\right]$ .
La fonction racine $n$ -ième pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , cas particulier des fonctions puissances ( ${\sqrt[{n}]{x+y}}\leq {\sqrt[{n}]{x}}+{\sqrt[{n}]{y}}$ ).
La fonction $f:{\mathcal {P}}(E)\to \mathbb {N} ,A\mapsto \mathrm {Card} (A)$ , où l'addition dans ${\mathcal {P}}(E)$ est l'union ensembliste $\cup$ , et l'addition dans $\mathbb {N}$ est l'addition usuelle. En effet, par la formule du crible, $\mathrm {Card} (A\cup B)=\mathrm {Card} (A)+\mathrm {Card} (B)-\mathrm {Card} (A\cap B)\leq \mathrm {Card} (A)+\mathrm {Card} (B)$ .