En physique mathématique, le star-produit[1] est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.

L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.

Définitions

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Déformation formelle

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Soit   un anneau commutatif et   une algèbre sur un anneau. Soit   l'anneau des séries formelles et   l'algèbre des séries formelles sur   avec les coefficients dans  .

La déformation formelle   de l'opérateur de multiplication   de l'algèbre   est une application  -bilinéaire[2]

 

tel que pour tout  

 

et   est la multiplication des séries formelles :

 

Star-produit

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Soit   une variété de Poisson, où   est un tenseur de Poisson.

Le star-produit   est une déformation formelle sur  , c'est-à-dire une multiplication  -bilinéaire[3]

 

de la forme

 

et   sont des applications  -bilinéaire

 

vérifiant les axiomes:

  1.   est associative:   pour tout  .
  2.  .
  3.   (où   est le crochet de Poisson).
  4.   pour tout  .

Propriétés

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Si les   sont des opérateurs bidifférentiels,   est appelé un star-produit différentiel.

Si les   sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre   est dans chaque argument,   est appelé un star-produit naturel.

On appelle un   du type Weyl, si   et   est hermitien, c'est-à-dire   (avec la convention  ).

Exemple

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pour   est un star-produit sur   avec une forme symplectique canonique   et la constante de Planck  .

Existence

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Sur les variétés symplectiques

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De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un star-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique[4].

Sur les variétés de Poisson

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Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de star-produits différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires[5].

Littérature

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Références

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  1. Joseph Oesterlé, « Quantification formelle des variétés de Poisson », Astérisque, vol. 252, no 843,‎ , p. 211-229 (lire en ligne)
  2. (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, (ISBN 978-3-319-09289-8)
  3. (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-72517-6)
  4. (en) Marc de Wilde et Pierre B. A. Lecomte, « Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 7, no 6,‎ (DOI 10.1007/BF00402248)
  5. (en) Maxime Kontsevitch, « Deformation Quantization of Poisson Manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 66, no 3,‎ (DOI 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arXiv q-alg/9709040v1)