Sous-groupe sous-normal

structure mathématique

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant.

Définition formelleModifier

Formellement,   est  -sous-normal dans   s'il existe des sous-groupes

 

de   tels que   est normal dans   pour chaque  .

Un sous-groupe sous-normal est un sous-groupe qui est  -sous-normal pour un entier positif  .

HistoriqueModifier

Le concept de sous-groupe sous-normal a été introduit sous le nom 'nachinvariante Untergruppe par Helmut Wielandt dans sa thèse d'habilitation en 1939[1]. Wielandt a notamment prouvé que dans un groupe fini, le sous-groupe engendré par deux sous-groupes sous-normaux est lui-même sous-normal, donc que les sous-groupes sous-normaux forment un treillis.

ExempleModifier

Le sous-groupe   du groupe symétrique   est un sous-groupe normal du groupe de Klein   qui lui-même est un sous-groupe normal de  . Ainsi,   est un sous-groupe sous-normal de , sans être un sous-groupe normal puisque   n'est pas dans  .

PropriétésModifier

Quelques exemples et résultats sur les sous-groupes sous-normaux :

  • Un sous-groupe 1-sous-normal est un sous-groupe normal propre, et réciproquement.
  • Un groupe de type fini est un nilpotent si et seulement si tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
  • Un sous-groupe quasi-normal (en) et plus généralement un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués d'un groupe fini est sous-normal.
  • Un sous-groupe pronormal (en) qui est aussi sous-normal est un sous-groupe normal. En particulier, un sous-groupe de Sylow est sous-normal si et seulement s'il est normal.
  • Un sous-groupe 2-sous-normal est un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués.

La relation de sous-normalité est transitive : en d'autres termes, un sous-groupe sous-normal d'un sous-groupe sous-normal est sous-normal. La relation de sous-normalité peut donc être définie comme la fermeture transitive de la relation de normalité.

Articles liésModifier

Notes et référencesModifier

  1. « Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 45,‎ 1939), p. 209-244 (lire en ligne).

BibliographieModifier