Moyenne de Riesz

moyenne en mathématiques
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En mathématiques, les moyennes de Riesz sont certaines moyennes des termes d'une série. Elles ont été introduites par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Les moyennes de Riesz ne doivent pas être confondues avec celles de Bochner-Riesz (en) ni avec les moyennes fortes de Riesz.

Définition

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La moyenne de Riesz d'une série de terme général   est définie par :

 

et sa moyenne de Riesz généralisée est définie par :

 

  est une suite arbitraire telle que   et   quand  .

Les moyennes de Riesz sont souvent utilisées pour explorer la sommabilité des séries ; les théorèmes de sommabilité usuels traitent du cas de  . Typiquement, une série est sommable lorsque la limite   existe, ou la limite   existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

Cas particuliers

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Soit   quel que soit  . Alors

 

Ici, on doit prendre   ;   est la fonction gamma et   est la fonction zêta de Riemann. On peut montrer que la série de puissances   converge pour  . Remarquons que l'intégrale est de la forme d'une transformée de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant    est la fonction de von Mangoldt. Alors

 

De nouveau, on doit prendre  . La somme sur   est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et   converge pour  .

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

Références

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