Propriétés du potentiel newtonien

Cet article fort technique traitant en détail des propriétés d'un potentiel inversement proportionnel à la distance s'adresse avant tout aux étudiants et aux chercheurs en géodésie physique et en géophysique, mais peut aussi intéresser les physiciens théoriciens. Sa lecture demande une tournure d'esprit orientée vers les mathématiques appliquées.

Potentiel gravitationnel et force de gravitationModifier

On appelle le potentiel gravitationnel d'une masse répartie dans le volume   d'un corps (la Terre dans notre cas) un potentiel newtonien. Ce potentiel joue un rôle tellement important en géodésie physique qu'il semble nécessaire d'en établir en détail les propriétés. À cette fin nous supposons que la densité   du corps attirant   est en général une fonction continue, mais qu'il peut exister un nombre fini de surfaces dans   sur lesquelles la densité est discontinue. Une telle fonction est appelée continue par morceaux. Nous ne ferons pas de distinction ici entre l'espace ponctuel et l'espace vectoriel associé, et nous écrirons pour les points quelconques   et   aussi x et y, respectivement. Nous désignerons en général les éléments de volume par   et les éléments de masse par  . Nous avons donc la relation :

 .

Par conséquent, en portant notre attention sur le point   en particulier, nous utiliserons indistinctement  ,   ou   pour l'élément de volume en  , et   ou   pour l'élément de masse en  . En notation vectorielle nous écrirons donc

 

pour le potentiel de gravitation et

 

pour la   composante de la force de gravitation. Si nous posons   en tout point   extérieur au corps B, c'est-à-dire dans l'espace vide, nous pouvons étendre les intégrations dans les deux expressions précédentes à tout domaine régulier   contenant  . Tout point appartenant au domaine d'intégration est appelé un point intérieur (ou point interne), tous les autres points sont appelés des points extérieurs (ou points externes).

Soit   le vecteur joignant   à  . Nous avons alors

  pour  .

La distance   entre   et   peut s'écrire de l'une quelconque des façons suivantes

 ,

en sous-entendant implicitement que dans le dernier terme la sommation s'effectue pour toutes les valeurs de l'indice muet   qui se répète (convention de sommation d'Einstein).

Il est souvent avantageux d'écrire les intégrales plus haut sous la forme d'intégrale de Stieltjes, à savoir :

 ,
 ,

  est la masse totale du corps  .

Existence et continuité du potentiel newtonien et de ses dérivées dans l'espaceModifier

Nous allons montrer maintenant que le potentiel V(P) et ses dérivées premières existent et sont continus dans tout l'espace pour des distributions de densité continues par morceaux. Comme le nombre de surfaces de discontinuité est fini, le corps B peut être subdivisé en un nombre fini N de corps plus petits Bk de masses Mk telles que

 ,

dans chacun desquels la densité est continue. On peut donc écrire

 .

dans chacun desquels la densité est continue.

Existence et continuité du potentiel newtonien et de la gravité à l'extérieur de la matièreModifier

Si le point potentié   se trouve à l'extérieur de  , chacune des intégrales

 

existe, car la fonction   est continue dans la région d'intégration.

Puisque chaque intégrale existe séparément, leur somme existe aussi, et par conséquent   existe aux points extérieurs. En outre, puisque l'intégrand dans l'expression de   est partout positif de même  , on a

 .

Ici,   et   désignent respectivement les distances minimum et maximum entre le corps attirant et le point attiré   extérieur au corps. Lorsque   s'éloigne de  , à la fois   et   grandissent indéfiniment. On voit donc que   possède la limite zéro à l'infini, quelle que soit la direction envisagée. En termes plus précis, on dit que   se comporte régulièrement à l'infini et décroît comme  . En effet, soit   un point intérieur quelconque. Alors la distance   est bornée et  , de sorte que

 .

Par des arguments tout à fait similaires il est possible de prouver que   existe dans l'espace extérieur au corps   et que l'intensité du champ de gravité

 

varie à grande distance comme  . De plus, il est évident que le potentiel et l'intensité de la gravité sont continus en des points extérieurs. Par la définition-même d'une dérivée, qui dans la théorie du potentiel est le plus souvent envisagée comme une dérivée directionnelle, la dérivation sous le signe intégrale est entièrement justifiée à l'extérieur du corps matériel. Soient h la longueur d'un petit segment de droite et   un vecteur unitaire porté par l'axe  . Alors, par définition :

 

donc

 

  est un certain nombre compris entre 0 et 1. Comme

 
 

on a

 

si   est la distance entre l'élément de masse   et le point   positionné en  . Supposons que   soit le point le plus proche de   tel que   fasse encore partie de  . Alors   est la plus petite valeur possible de  , et

 

Lorsque   tend vers zéro, le point   se meut vers  . Pour cette raison, la distance minimum   de   au corps peut changer. Toutefois, comme   se trouve à l'extérieur de la région  , il existe une valeur minimum de   non nulle lorsque   est suffisamment petit. Soit   cette distance minimum. Alors la limite

 

s'annule avec  . Nous pouvons ainsi conclure qu'en tout point extérieur le gradient du potentiel de gravité existe et, à cause des expressions ci-avant fournissant   et  , représente bien la gravité :

 

Équation de LaplaceModifier

En fait, on peut étendre cette démonstration successivement à des dérivées d'ordres supérieurs et ainsi prouver que dans une région dépourvue de matière (c'est-à-dire dans l'espace vide), le potentiel gravitationnel possède des dérivées partielles continues de tous les ordres et est analytique.

En particulier, si nous considérons les dérivées partielles d'ordre 2, nous trouvons grâce à la relation ci-avant fournissant   que

 

Nous aboutissons ainsi à la célèbre équation de Laplace

 

Celle-ci est une équation aux dérivées partielles du second ordre qui doit être satisfaite par le potentiel gravifique dans les régions de l'espace dépourvues de matière. Elle joue un rôle fondamental, non seulement en géodésie, mais dans pratiquement toutes les sciences qui admettent une description mathématique des phénomènes. Nous rappelant la signification physique de l'opérateur laplacien, nous savons que les fonctions qui obéissent à l'équation de Laplace, tel que le potentiel gravifique dans le vide, possèdent la propriété d'être des fonctions moyennes dans le sens que la valeur d'une telle fonction en un point est la moyenne des valeurs de cette fonction dans un voisinage suffisamment restreint de ce point. Une telle fonction est encore appelée fonction harmonique.

Existence du potentiel newtonien et de la gravité à l'intérieur de la matièreModifier

Pour établir les propriétés du potentiel gravitique à l'intérieur d'un corps matériel, en particulier à l'intérieur de la Terre, les démonstrations deviennent plus compliquées. Cela est dû au fait que pour des points intérieurs, l'intégrale

 

est impropre suite à la singularité qui se produit lorsque  . Dès lors, la dérivation sous le signe d'intégration n'est plus permise sans justification aux points intérieurs. C'est la nécessité d'une telle justification qui complique les démonstrations. En effet, même l'existence et la continuité du potentiel en des points où il existe de la matière ne sont plus des propriétés évidentes, mais demandent une preuve. Supposons donc que   est un point intérieur. Afin de simplifier les démonstrations nous allons passer, sans perte de généralité, du système de coordonnées cartésiennes envisagé jusqu'à présent à un système de coordonnées sphériques   admettant   comme origine. On obtient ainsi :

 .

Le vecteur   étant fixé, l'élément de volume en   en termes des variables   est  . Ayant défini la densité comme étant nulle en dehors de  , nous pouvons écrire

 ,

où le domaine d'intégration   possède une frontière sphérique de rayon  , centrée sur le point  . Nous prenons pour   la plus grande distance entre deux points arbitraires appartenant au corps matériel de dimensions finies  . Soit   la valeur maximum de   dans  . Alors

 .

Ainsi, l'intégrale impropre   ci-dessus converge uniformément par rapport aux paramètres  , ce qui implique que le potentiel   existe en chaque point. D'une manière tout à fait similaire, nous pouvons prouver que les intégrales impropres définissant les composantes   de la gravité existent. En effet, en considérant encore des coordonnées sphériques et en gardant les mêmes notations comme ci-dessus, nous trouvons

 .

Ceci prouve la convergence uniforme, et donc l'existence, des intégrales impropres  .

Continuité du potentiel newtonien et de la gravité à l'intérieur de la matièreModifier

Nous montrons ensuite que le potentiel   est continu en un point   de  . Ce n'est pas une restriction essentielle que de supposer que   est à l'intérieur de  . En effet, nous avons vu que nous pouvons agrandir   en posant   dans la région qu'on ajoute. Le raisonnement classique consiste alors à décomposer le domaine   en deux sous-domaines, à savoir   et  . La sous-région   est une petite boule centrée sur  . Nous écrivons

 

moyennant

 ,
 .

Or, pour   donné arbitrairement petit, nous pouvons prendre   suffisamment petit pour que

 ,

indépendamment de la position de  . Pour ce faire, il suffit de prendre le rayon   de   plus petit que  , puisque dans ce cas il vient

 .

Il s'ensuit que pour une telle sphère   on a

 .

Alors, avec   fixé, il existe un voisinage de   tel que, si   appartient à ce voisinage et   appartient au sous-volume  , nous avons

 .

Ainsi, lorsque   est dans ce voisinage, nous trouvons

 .

En combinant les inégalités pour   et  , nous avons

 .

Ainsi V est continu en  , et dès lors dans tout l'espace.

Comme précédemment, on établira la continuité de la gravité par une partition similaire de   en deux sous-régions. En effet, soit

 ,

avec

 .

Ici nous utilisons les notations suivantes :  ,  ,   est le vecteur unitaire   :

 .

Pour tout   fixé arbitrairement petit, nous pouvons prendre le rayon de   plus petit que  . Alors

 

indépendamment de la position de  , et

 .

En outre, avec   fixé mais suffisamment petit et contenant les points   et  , et avec   appartenant au volume  , nous avons

 

et

 .

En combinant les inégalités pour   et  , nous établissons la continuité du champ de force gravitique en tout point intérieur   et, par conséquent, la continuité de la gravité dans tout l'espace rempli ou non de matière.

Existence et continuité des dérivées partielles du potentiel à l'intérieur de la matièreModifier

Toutefois, il n'est pas évident sans investigations complémentaires que les composantes de force   sont égales aux dérivées partielles   ( ) aux points où il y a de la matière. En effet, les conditions usuelles permettant de dériver sous le signe intégrale ne sont pas remplies par les intégrales impropres. Néanmoins, la relation   subsiste dans le cas présent. Pour le prouver, considérons deux points   et   intérieurs à  , occupant par rapport à l'origine   les positions   et  , respectivement. Soit   un point attirant occupant la position  . Par rapport à  ,   est situé en  . Considérons maintenant l'expression

 

  ,

 ,

 .

Si nous arrivons à démontrer que la limite pour h tendant vers zéro de   est plus petite qu'un nombre positif   arbitrairement petit fixé à l'avance, alors nous pouvons conclure que la dérivée partielle   de   existe et est continue aux points intérieurs, tout comme pour les points extérieurs, et que sa valeur est  . Ainsi, prenons   assez petit pour que   se trouve à l'intérieur du domaine sphérique   de rayon  , centré sur  . La valeur   elle-même est choisie assez petite de manière que la boule   soit contenue entièrement dans le volume  . Ainsi, comme   et   sont extérieurs au volume  , il résulte des propriétés du potentiel en des points extérieurs que, quelle que soit la valeur du rayon  , la distance   peut être prise suffisamment petite de manière que

 .

En ce qui concerne la contribution   de l'intégrale prise sur le volume sphérique  , il convient de remarquer tout d'abord que

 

et que

 .

Des relations exprimant les inégalités triangulaires appliquées au triangle   on déduit que

 .

D'autre part, comme

 

il vient

 

Ainsi, on aboutit à la majoration

 

En posant comme de coutume   pour tout point   se trouvant en dehors du volume  , nous pouvons écrire

 

  est un domaine sphérique de rayon   centré sur  . Ainsi, nous avons

 

Pour des valeurs de   suffisamment petites, c'est-à-dire pour

 

cette expression est numériquement inférieure à  , et donc

 

De cette façon, nous avons prouvé que les dérivées partielles du premier ordre du potentiel existent et représentent les composantes de la gravité. Cette proposition est tout à fait générale. Elle est valable lorsque le point attiré se trouve à l'extérieur du corps qui attire, mais elle est aussi valable lorsque le point attiré se trouve à l'intérieur de ce corps. Une autre manière de s'exprimer consiste à dire que les dérivées de   du premier ordre s'obtiennent par dérivation sous le signe d'intégration.

Existence des dérivées partielles secondes du potentiel newtonien à l'intérieur de la matièreModifier

Il en va tout autrement des dérivées du second ordre à l'intérieur du corps. Le simple fait de supposer la densité continue et bornée ne suffit plus pour garantir l'existence de ces dérivées. Cela se voit clairement si nous dérivons formellement l'expression

 

par rapport à   sous le signe d'intégration, et essayons de démontrer l'existence de   comme auparavant pour   et  , en agrandissant le domaine   en un domaine sphérique   de rayon   centré sur   et contenant   complètement. En effet, nous trouvons alors formellement

 

et

 .

Condition de HölderModifier

Ici nous ne pouvons pas simplement remplacer   par sa borne supérieure   pour pouvoir affirmer que l'intégrale du membre de droite existe, car l'intégrale impropre   diverge. Nous imposons pour cette raison à la densité   une condition en   qui fut initialement introduite en 1882 par Otto Hölder, à savoir

  •  
  • pour tous les points   tels que  
  •  ,  ,   sont des constantes positives.

On peut montrer qu'une condition de Hölder est plus forte que la condition de continuité, mais plus faible que la condition de dérivabilité si  . A fortiori elle est donc plus faible que la condition d'analyticité. S'il existe une région   dans laquelle   obéit à une condition de Hölder en chaque point, avec les mêmes valeurs de  ,   et  , alors la fonction   est dite remplir une condition de Hölder uniformément dans  .

Un cas évident pour lequel une condition de Hölder uniforme s'applique est celui d'un domaine   dans lequel la densité est constante, soit  . Supposons que   est un volume sphérique de rayon   et montrons que dans cet exemple les dérivées secondes de   existent en effet en un point intérieur  . Sans restreindre la généralité de la démonstration, nous pouvons supposer que le centre de   coïncide avec l'origine   des axes de coordonnées, et nous prenons le vecteur   le long de l'axe  . En termes des coordonnées sphériques   , où   ,  , avec  , le potentiel en   engendré par toutes les masses dans   est fourni par[1]

 .

Étant une fonction scalaire, le potentiel gravifique est invariant par rapport aux changements du système de coordonnées. Par conséquent, cette formule est générale. Il s'ensuit qu'en chaque point à l'intérieur d'une masse sphérique homogène, nous avons

 ,
 ,
 .

Nous constatons, en particulier, que toutes les six dérivées partielles d'ordre 2 de   existent et sont continues. En outre, nous trouvons que

 .

Nous pouvons maintenant étudier les dérivées partielles du second ordre de   en un point intérieur quelconque   du domaine fini  , pour une distribution de densité générale satisfaisant une condition de Hölder du type ci-dessus. Comme précédemment, soit   un domaine sphérique de rayon   centré sur  . Nous supposons que le volume   est entièrement contenu dans le volume  . Considérons alors séparément le potentiel   créé en   par toutes les masses dans  , et le potentiel   créé en   par toutes les masses restantes. Puisque   est un point extérieur pour l'évaluation de   , ce potentiel possède des dérivées continues de tous ordres en   et   est harmonique, c'est-à-dire   est une solution de l'équation de Laplace en  . Ainsi, le problème est réduit à une étude de  .

Si nous écrivons

  ,

nous voyons que le potentiel d'une sphère possédant une densité continue en   est la somme de deux potentiels : le potentiel créé par la sphère si elle était remplie de matière de densité constante égale à celle du point  , et le potentiel d'une sphère dont la densité s'annule en  . Comme nous venons juste de démontrer que le potentiel d'une sphère uniforme possède des dérivées continues du second ordre, il nous reste de discuter le cas dans lequel la densité s'annule en   et   remplit une condition de Hölder. En admettant que le rayon   de la boule   est plus petit qu'une certaine constante positive   donnée, cela signifie que

  avec   ,

  désigne la fonction  . Celle-ci engendre dans le volume   le potentiel   et le champ de force   ,  . Définissons la quantité

  ,

qui devient successivement

 .

Cette intégrale impropre, obtenue en dérivant formellement le potentiel gravifique   deux fois sous le signe intégrale, converge puisque

 

moyennant la condition de Hölder. Considérons maintenant au voisinage de   occupant la position   un point   occupant la position  , de manière que  . Formons l'expression

 

pour  . Cette intégrale est aussi convergente, comme on peut le constater en utilisant le même raisonnement que pour  , et parce que   existe aux points intérieurs. Nous avons

 

avec  . Nous voulons montrer que   tend vers zéro avec  , indépendamment de la position de  . Mais pour arriver à cette fin, nous devons nous débarrasser de   dans le dénominateur du premier terme dans l'intégrale. En remarquant que

 ,

nous trouvons

 .

Pour  , cette dernière expression se réduit à  , rendant ainsi l'intégrand de   égal à zéro et, par conséquent,  . Si nous pouvons prouver que l'expression   est continue par rapport à   en  , nous saurons qu'elle s'annule avec  , et il s'ensuivra que la dérivée de   par rapport à   existe en   et vaut  . Traçons donc une petite sphère de volume  , de rayon   et de centre  , de sorte que  . Comme   et   sont tous les deux extérieurs au domaine  , nous pouvons prendre   assez petit pour que la contribution   de l'intégration sur   est plus petite en valeur absolue que  , où   est un nombre positif fixé arbitrairement petit. Considérons maintenant la contribution   de l'intégration sur  , à savoir

 .

En nous souvenant que   et   sont les   composantes (pour   fixé) des vecteurs   et  , respectivement, nous avons

  •   ,
  •   ,
  •  .

Ainsi, l'expression entre crochets est bornée en valeur absolue par   . En utilisant alors la condition de Hölder, nous obtenons

 

Nous avons le droit de supposer  , parce qu'une condition de Hölder avec un exposant donné implique toujours une condition avec un exposant positif plus petit. Cependant, dans ce cas, l'intégrand restant dans l'intégrale du membre de droite devient infini dans deux occasions, à savoir pour   et pour  . En considérant séparément les cas   et  , nous avons certainement

 ,

  est un domaine sphérique de rayon   centré sur  . Il s'ensuit que

 .

En choisissant   suffisamment petit pour que   , nous avons

 .

Ceci prouve que la fonction   est continue par rapport à   en  , indépendamment de la position de  . Donc, l'existence des dérivées partielles du second ordre de   est établie et, en outre :

 .

En particulier, le potentiel V11 pour lequel la densité vérifie une condition Hölder et qui s'annule en P est harmonique, puisque

 .

Équation de PoissonModifier

Si nous superposons à la distribution de densité   s'annulant en   une autre distribution de densité   constante partout dans le volume sphérique  , nous aboutissons au résultat suivant valable pour une distribution de densité continue dans un domaine sphérique satisfaisant à une condition de Hölder en   : les dérivées de la gravité existent, et

  ,

  désigne l'opérateur laplacien (ou simplement le laplacien)  . Finalement, si nous additionnons les potentiels des distributions extérieures à  , rien n'est contribué au laplacien et la même équation ci-dessus reste valable. Celle-ci est une équation aux dérivées partielles du second ordre, qui renferme l'équation de Laplace comme un cas spécial. Elle est connue comme équation de Poisson. Elle nous permet de trouver le potentiel si nous connaissons la densité et, réciproquement, trouver une distribution de densité si nous connaissons le potentiel. Elle est donc d'une importance capitale en géodésie physique et, plus précisément, pour le problème qui consiste à trouver la forme d'équilibre d'un corps en rotation. C'est pour cette raison que nous avons pris la peine dans cet article d'établir en détail l'équation de Poisson et d'autres propriétés importantes du potentiel newtonien.

Il convient de remarquer que nous avons pas discuté ici la situation prévalant en des points de la frontière du corps. En ces points-frontière, le potentiel d'une distribution de masse volumique, ainsi que ses dérivées premières, sont continues. Par contre, sur une frontière les dérivées secondes du potentiel n'existent pas en général. Il est clair qu'elles ne peuvent pas toutes être continues, car lorsque nous passons d'un point extérieur à un point intérieur au travers d'une frontière où la densité ne s'annule pas,   subit un saut de  . Une situation semblable est réalisée sur des surfaces à l'intérieur d'un corps sur lesquelles la densité est discontinue. Alors, la valeur de   saute de   lorsqu'on passe à travers la surface de discontinuité de densité, où   désigne le saut de densité à travers cette surface.

BibliographieModifier

  • C. Denis (1985). The Hydrostatic Figure of the Earth, Geophysical Report 85/02, Institut d'Astrophysique, Université de Liège.
  • C. Denis, E. Majewski, R. Teisseyre & J.B. Zieliński (1989). The Earth's Gravity Field, Chapitre 1, pages 1–77 de l'ouvrage collectif Physics and Evolution of the Earth's Interior, volume 4 : Gravity and Low-Frequency Geodynamics, édité par R. Teisseyre. Elsevier Publications, Amsterdam & PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa.
  • N.M. Günter (1957). Die Potentialtheorie, und ihre Anwendung auf Grundaufgaben der mathematischen Physik, B.G. Teubner, Leipzig.
  • O. Hölder (1882). Beiträge zur Potentialtheorie, Dissertation, Tübingen.
  • O.D. Kellogg (1929). Foundations of Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin (Dover reprint, 1953).
  • W.D. MacMillan (1930). The theory of the potential, University of Chicago, Chicago (Dover reprint, 1958).

Voir aussiModifier

NotesModifier

  1. En effet
     ,

    qui devient ainsi successivement

     .