Processus de Kiefer

Le processus de Kiefer est un mouvement brownien à deux paramètres introduit par le mathématicien américain Jack Kiefer afin de voir le processus empirique comme un processus gaussien à deux paramètres. En particulier, en fixant le paramètre le processus de Kiefer est un pont brownien et en fixant le paramètre il devient un mouvement brownien.

Définition et propriétésModifier

Soit   un processus de Wiener (ou mouvement brownien) à deux paramètres. Un processus de Kiefer   est défini par

 

Le processus de Kiefer vérifie les propriétés suivantes :

  • Si on fixe le paramètre  , le processus de Kiefer est un mouvement brownien. Formellement,
     
    est un mouvement brownien ;
  • Si on fixe le paramètre  , le processus de Kiefer est un pont brownien. Formellement,
     
    est un pont brownien. ;
  •   est une suite de ponts browniens indépendants ;
  •   et la fonction de covariance de   est donnée par
     

Approximation forte du processus empiriqueModifier

Jack Kiefer fut le premier mathématicien à considérer le processus empirique   comme un processus à deux paramètres et que celui-ci devait par conséquent être approché par un processus gaussien bidimensionnel. Il prouve notamment que si   est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur  , il existe un processus de Kiefer   vérifiant presque-sûrement[1]

 

Les mathématiciens Komlós, Tusnády et Major approchent fortement le processus empirique uniforme avec le processus de Kiefer avec une meilleure borne[2],[3]. Précisément, si   est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur   alors il existe un processus de Kiefer   tel que pour tout  , presque-sûrement [4]

 

  sont des constantes universelles positives. Ce qui entraîne d'après le lemme de Borel-Cantelli : presque-sûrement,

 

RéférencesModifier

  1. (en) Jack Kiefer, « Skorohod Embedding of Multivariate RV's and the sample DF », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, vol. 24,‎ , p. 1-35
  2. (en) J. Komlos, P. Major et G. Tusnady, « An approximation of partial sums of independent RV’-s, and the sample DF. I », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw, no Gebiete 32,‎ , p. 211-226 (lire en ligne)
  3. (en) J. Komlos, P. Major et G. Tusnady, « An approximation of partial sums of independent RV'-s and the sample DF. II », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw, no Gebiete 34,‎ , p. 33-58 (lire en ligne)
  4. (en) M. Csörgo et P. Révész, Strong approximations in probability and statistics