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Image réciproque

(Redirigé depuis Préimage)
Représentation de l'image réciproque de B par une fonction f (qui ici est injective mais non surjective).

En mathématiques, l'image réciproque — ou la préimage — d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : XY est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : . Elle est donc caractérisée par :

.

Sommaire

ExemplesModifier

  • L'image réciproque   d'un singleton   par une fonction f est l'ensemble des antécédents de y par f.
  • Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est f−1({a, b}) = {1}.

L'application « image réciproque »Modifier

Avec cette définition, f−1 est l'application « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f−1, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f−1. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane[1] parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f* au lieu de f−1.

Propriétés élémentairesModifier

  • Pour toutes parties   et   de   :
      ;
      ;
     .
  • Pour toute partie   de  ,  [2].
    • En particulier si   est surjective alors  .
      On peut même prouver que   est surjective si et seulement si pour toute partie   de   on a  .
      (Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
  • Pour toute partie   de  ,  .
    L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si   n'est pas injective.
    On peut même prouver que   est injective si et seulement si pour toute partie   de   on a  .
  • Pour toute famille non vide   de parties de   :
      ;
     .
  • Si l'on considère de plus une application  , alors l'image réciproque d'une partie   de   par la composée   est :
     

Notes et référencesModifier

  1. Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 8.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple le corrigé de l'exercice correspondant sur la Wikiversité.

Article connexeModifier