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Postulat de Bertrand

En mathématiques, le postulat de Bertrand affirme qu'entre un entier et son double, il existe toujours un nombre premier.

Plus précisément, l'énoncé usuel est le suivant :

Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que .

Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de théorème de Tchebychev, depuis que Pafnouti Tchebychev l’a démontré en 1850.

ÉnoncésModifier

  • L'énoncé usuel du postulat de Bertrand :
    1. Pour tout entier  , il existe un nombre premier   tel que  .
    est équivalent aux quatre suivants :
    2. Pour tout entier  , il existe un nombre premier   tel que  .
    3. Pour tout entier  ,  , où   est la fonction de compte des nombres premiers.
    4. Pour tout indice  ,  , où   est la suite des nombres premiers.
    5. Pour tout indice  ,  , où   est l’écart entre un nombre premier et le suivant.
    ainsi qu'aux variantes obtenues en remplaçant, dans les énoncés 1 à 3, « pour tout entier » par « pour tout réel[1] ».
  • Celui formulé par Joseph Bertrand[2] était légèrement plus fort :Pour tout entier  , il existe un nombre premier   tel que  [3].
  • Le théorème démontré par Pafnouti Tchebychev est encore un peu plus fort :Pour tout entier  , il existe un nombre premier   tel que  [4],[5],[6].

HistoriqueModifier

Le « postulat » (un terme tel qu’hypothèse ou conjecture, moins généraux, serait plus approprié) est énoncé pour la première fois en 1845 par Joseph Bertrand[7] dans une étude sur des groupes de permutations, après qu’il a vérifié sa validité pour tous les nombres inférieurs à 6 millions.

C’est Pafnouti Tchebychev qui obtient, en 1850, la première démonstration[8] : il utilise notamment un encadrement de la factorielle par des fonctions dérivées de la formule de Stirling ainsi que la fonction  , définie par  , où   parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à  [9]. Depuis lors, le postulat s'appelle aussi « théorème de Tchebychev[10] » ou, plus rarement, « théorème de Bertrand-Tchebychev ».

Edmund Landau, en 1909, dans son ouvrage de synthèse des connaissances de l’époque sur la répartition des nombres premiers[11], reprend pour l’essentiel la démonstration de Tchebychev[9].

En 1919, Srinivasa Ramanujan donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple[12].

En 1932, Paul Erdős, à l’occasion de sa première publication, à l’âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire[10] dans laquelle il utilise les coefficients binomiaux. Pour son élégance, cette démonstration d’Erdős est l’une de celles retenues par Martin Aigner et Günter M. Ziegler dans leur livre Raisonnements divins[13].

Problèmes apparentésModifier

Résultats dérivés de la démonstration de TchebychevModifier

L’essentiel de la démonstration de Tchebychev porte sur les   assez grands, le complément consistant à démontrer la propriété directement pour les   petits. L’énoncé est le suivant :

Pour tout  , il existe un nombre   tel que pour tout   il existe au moins un nombre premier entre   et  .

Un axe de recherche consiste à réduire la valeur de   :

  • Tchebychev a obtenu en 1850[14] la valeur  , soit 0,2 ;
  • James Joseph Sylvester améliore ce résultat en 1881[14],[15], et réduit   à 0,16688 ;
  • et en 1891-1892[14],[15], à 0,092 ;
  • en 1893, Eugène Cahen croit avoir démontré que   quand   tend vers l’infini[16]. Un corollaire immédiat (que Stieltjes avait conjecturé)[17] est qu’on peut prendre   arbitrairement petit (ou, ce qui n'est plus général qu'en apparence : que pour tout  , la quantité de nombres premiers compris entre   et   tend vers l'infini avec  )[14] ;
  • le théorème des nombres premiers, équivalent de façon élémentaire à  , ne sera démontré qu'en 1896, par Hadamard et La Vallée Poussin ; les résultats supplémentaires de ce dernier, en 1899, permettent d'expliciter une solution   en fonction de chaque  [14].

Conjecture de LegendreModifier

Une conjecture similaire au postulat de Bertrand, mais non encore résolue, appelée conjecture de Legendre, affirme l'existence, pour tout entier  , d'un nombre premier   tel que  . Elle touche à l'hypothèse de Riemann.

Théorème de SylvesterModifier

En 1891-1892, James Joseph Sylvester généralise l'énoncé usuel avec la proposition suivante[18] :

Le produit de   entiers consécutifs strictement supérieurs à   est divisible par un nombre premier strictement supérieur à  .

Le postulat de Bertrand s'en déduit en considérant les   entiers   : si l'un d'eux est divisible par un nombre premier  , il est égal à  .

DémonstrationModifier

Notons   l'ensemble des nombres premiers et définissons :

 .

Voici le plan de la démonstration :

  • lemme de majoration de   ;
  • vérification explicite de la propriété pour n ≤ 630 ;
  • démonstration de la propriété (dans sa version usuelle) pour n > 630 (en utilisant le lemme).

Lemme de majoration de θ(x)Modifier

Pour tout entier  .

Vérification pour n ≤ 630Modifier

Si 2 ≤ n ≤ 630, on utilise le procédé de Landau :

considérons la suite de onze nombres premiers 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317 et 631, chacun étant strictement inférieur au double de son prédécesseur.

Il existe deux nombres consécutifs de cette liste, q et p, tels que

 , donc   et  .

De plus, par construction de cette liste,  , ce qui, joint à  , donne  . On a donc bien

 .

Preuve pour n > 630Modifier

Mise en place de la stratégieModifier

Par la formule du binôme,

 .

Puisque   est le plus grand terme de la somme, on en déduit :  . Appelons   le plus grand nombre x tel que   divise  . On a donc

 ,

avec

 .

Pour minorer   (afin de montrer que  ), on va majorer  ,   et  . Il nous faut pour cela majorer les  .

Calcul des R(p, n)Modifier

On désigne par   la partie entière de  , et par   sa partie fractionnaire.

Puisque (d'après une formule de Legendre) n! possède   facteurs égaux à p, on obtient :

 

Majoration de P1Modifier

Puisque chaque terme   vaut soit 0 (lorsque  ) soit 1 (lorsque  ) et que tous les termes avec   sont nuls, on obtient :

 ,

donc  , donc  .

Majoration de P2Modifier

Pour  , la somme dans R(p, n) est réduite à son premier terme,   qui, comme déjà mentionné, vaut 0 ou 1. On a donc  , d'où

 ,

la dernière inégalité venant du lemme.

Majoration de P3Modifier

En fait,   (c'est le point clé de la preuve d'Erdös) car si   alors

 .

SynthèseModifier

On aboutit à

 ,

c'est-à-dire

 

qui, en posant  , se réécrit

 .

Or   donc  , d'où  , si bien que  , ce qui achève la démonstration.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Bertrand's postulate » (voir la liste des auteurs) et « Proof of Bertrand's postulate » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) B. M. Bredikhin, « Bertrand postulate », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne) donne l'énoncé 1 avec : « pour tout   » (implicitement : réel).
  2. L'énoncé original de la page 129 de Joseph Bertrand, « Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme », Journal de l'École royale polytechnique, vol. 18, cahier 30,‎ , p. 123-140 (lire en ligne), est : « quel que soit un nombre   supérieur à 6, il existe toujours un nombre premier, au moins, compris entre   et  . » Le contenu de cette page 129 permet de comprendre, sans ambiguïté possible, que   est un entier, strictement supérieur à 6, et que le nombre premier   doit vérifier les inégalités   (stricte pour la première et large pour la seconde).
  3. C'est sous cette forme qu'est rappelé l'énoncé de Bertrand au début de P. Tchebichev, « Mémoire sur les nombres premiers », Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, t. 17,‎ , p. 366-390 (lire en ligne) « (présenté à l'Académie impériale de Saint-Pétersbourg, en 1850) ». Cette reformulation est équivalente à l'énoncé original, précisé par la note précédente.
  4. Tchebichev 1852, p. 381-382.
  5. Bredikhin 2002.
  6. Ou, ce qui est équivalent : « Tchebychef a démontré le théorème suivant […] : Pour   [  réel], il y a au moins un nombre premier compris [strictement] entre   et  . »Édouard Lucas, Théorie des nombres, (lire en ligne), p. 367.
  7. Bertrand 1845, p. 129.
  8. Tchebichev 1852 « (présenté à l'Académie impériale de Saint-Pétersbourg, en 1850) », publié en septembre[réf. souhaitée] 1852, pendant un voyage en Europe occidentale (France, Angleterre, Allemagne). La démonstration du postulat de Bertrand est contenue dans les pages 371-382.
  9. a et b Pour plus de détails, voir les sections « Conjecture de Gauss-Legendre » et « Postulat de Bertrand » de l'article sur Pafnouti Tchebychev.
  10. a et b (de) P. Erdős, « Beweis eines Satzes von Tschebyschef », Acta Sci. Math. (Szeged), vol. 5 (1930-1932),‎ , p. 194-198 (lire en ligne).
  11. (de) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen, (lire en ligne).
  12. (en) S. Ramanujan, « A proof of Bertrand's postulate », Journal of the Indian Mathematical Society, XI, 1919, p. 181-182. — Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, 1927, p. 208-209 ; reprint. Chelsea Publishing Company, New York, 1962.
  13. Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, (lire en ligne), chap. 2 et 3, p. 7-18.
  14. a b c d et e (de) E. Landau, lien Zentralblatt MATH.
  15. a et b (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 1, 1919, p. 435.
  16. E. Cahen, « Sur la somme des logarithmes des nombres premiers qui ne dépassent pas n », CRAS, vol. 116,‎ , p. 85-88 (zbMATH 25.0265.01, lire en ligne). Le commentaire de Minkowski (JFM (de), Jahrgang 1893 und 1894, vol. 25, no 1, 1896, p. 265) reproduit dans zbMATH est sans appel, tandis que Dickson 1919, p. 436, ne remarque pas l'erreur.
  17. E. Cahen, « Sur un théorème de M. Stieltjes », CRAS, vol. 116,‎ , p. 490 (lire en ligne). Cahen reproduit cette note et la précédente p. 114-117 de « Sur la fonction ζ(s) de Riemann et sur des fonctions analogues », ASENS, vol. 11,‎ , p. 75-164 (lire en ligne).
  18. (en) Sylvester, « On arithmetical series, part I », Messenger Math., vol. 21, mai 1891-avril 1892, p. 1-19.

BibliographieModifier