Nombre de Bell

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts[1] ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétésModifier

  • Ces nombres forment la suite d'entiers  A000110 de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :
     
    Le premier vaut 1 car il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet, ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.
  • Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée « relation d'Aitken »[réf. nécessaire] et en fait due au mathématicien japonais du XVIIIe siècle Yoshisuke Matsunaga [2]:
     
    qui peut se démontrer ainsi :
    Ayant fixé un élément x dans un ensemble à n + 1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.
    Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.
  • Les sept plus petits nombres de Bell premiers sont B2 = 2, B3 = 5, B7 = 877, B13 = 27 644 437, B42 = 35 742 549 198 872 617 291 353 508 656 626 642 567, B55 = 359 334 085 968 622 831 041 960 188 598 043 661 065 388 726 959 079 837 et B2841 (cf. suites  A051131 et  A051130 de l'OEIS). On ignore s'il en existe d'autres.

Série génératriceModifier

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

 

La première est par exemple[3] utilisée pour étudier les classes de congruence des  . Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle   : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

 

On en déduit qu'elle est égale à   à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

 

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

 

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétésModifier

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

 

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :

 

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

 

W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement   ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling[4].

Notes et référencesModifier

  1. Les éléments d'un ensemble sont toujours distincts dans la théorie des ensembles usuelle, mais ce n'est pas le cas dans la théorie des multiensembles. Et, le nombre de partition d'un ensemble à n éléments indiscernables est le nombre de partitions d'un entier.
  2. Donald Knuth, The Art of Computer Programming : History of Combinatorial Generation, vol. 4
  3. Daniel Barsky et Bénali Benzaghou, « Nombres de Bell et somme de factorielles », Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 16,‎ , p. 1-17 (lire en ligne [PDF])
  4. On trouvera d'autres approximations de Bn sur (en) Eric W. Weisstein, « Bell Number », sur MathWorld.