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Transformation par polaires réciproques

(Redirigé depuis Polaire réciproque)

En chantierCet article est en travaux depuis 2007... et ne respecte pas les recommandations de présentation encyclopédique. L'article sur la courbe duale apporte le contexte nécessaire à la compréhension de cet article-ci, quasi illisible dans son état actuel.

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Polaire.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la transformation par polaires réciproques est une transformation associant à une courbe une autre courbe construite à l'aide des droites tangentes à la première. La courbe image s'appelle la courbe duale de la courbe de départ.

Sommaire

Points cocycliques, quadrilatère inscritModifier

Soit   un quadrilatère et   l'intersection des diagonales.

Les quatre points sont cocycliques si et seulement si  

 

Un produit scalaire symétriqueModifier

Notons   l'intersection de deux des côtés du quadrilatère. On a

 

Apparition de la droite des tangentesModifier

Soit toujours   un cercle, d'un point   extérieur au cercle on mène les deux tangentes à  . Soit   les points de contact.

Si   alors   divise harmoniquement  .

Le point d'intersection de   avec toute corde issue de   divise harmoniquement la corde.

  divise harmoniquement  

Polaire réciproqueModifier

Cette droite   possède donc les propriétés suivantes :

  1. Toute corde   au cercle, issue d'un point   extérieur à ce cercle, coupe cette droite en un point   tel que   divise harmoniquement  ;
  2. Cette droite est l'ensemble des conjugués harmoniques de   par rapport au cercle ;
  3. Pour tout point   de cette droite, le cercle de diamètre   est orthogonal au cercle de départ (cf. « Cercles orthogonaux ») ;
  4. Si   est le centre du cercle,   ;
  5. Les intersections des diagonales de tous les quadrilatères complets issues de   sont alignés et sont sur cette droite ;
  6. Si dans un repère centré au centre du cercle, le point   a pour coordonnées  , l'équation de cette droite est  .

DéfinitionsModifier

Définition : Étant donné un point   et un cercle  , on nomme polaire de   par rapport à  , l'ensemble des conjugués harmoniques de   par rapport à  .

Par conséquent si   est extérieur au cercle, c'est la droite  .

Réciproquement, toute droite du plan est la polaire d'un point unique nommé "pôle" de la droite.

Polaire et pôle sont reliés analytiquement par la relation :   lorsque l'origine du plan est au centre du cercle.

Géométriquement, si la droite   coupe le cercle, son pôle ne peut être que le point d'intersection des tangentes au cercle au point  . Si la droite ne coupe pas le cercle, on projette le centre   du cercle sur la droite en  ;   est alors le conjugué de   par rapport au cercle, ou bien le projeté sur   d'un point de contact d'une tangente à   issue de  , puisqu'il est alors sur la polaire de  .

Intersection et alignementModifier

La « polarisation » échange les notions de droites concourantes et de droite passant par deux points.

Soit   deux points (non alignés avec le centre du cercle); si   désignent les polaires de ces points, alors   est le pôle de la droite  . (Si   sont alignés avec   on obtient le point à l'infini dans la direction perpendiculaire à  ).

Soit   deux droites,   leur pôles alors la droite   est la polaire du point  .

Polaire d'une courbeModifier

Il y a deux façons naturelles de définir la polaire d'une courbe.

Ou bien à un point   de la courbe on associe sa polaire puis l'on considère l'enveloppe de ces polaires ou bien on considère le lieu formé par les pôles des tangentes à la courbe. Ces deux notions coïncident.

Soit   une courbe du plan, la tangente a pour équation   son pôle a donc pour coordonnées

  et  

La polaire du point   a pour équation  . L'enveloppe de cette famiille de droites est déterminée par les équations   qui donne précis&ément les mêmes expressions que précédemment.

La « polarisation » échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

Polaire d'une coniqueModifier

La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.'

Notes et références bibliographiquesModifier

La notion de polarité est abondamment décrite dans les ouvrages du XIXe siècle, ou dans les tout récents qui suivent :

  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4) ;
  • Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet, 2011 (ISBN 978-2916352121).

Article connexeModifier