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Construction géométrique de la podaire (en rouge) de la courbe C (ici le cercle noir) par rapport au point P (le point noir à gauche). En tout point de C, on trace la tangente et on projette P orthogonalement sur cette tangente.

La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projetés orthogonaux de P sur les tangentes à la courbe C.

Inversement, la courbe C dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire (ou podaire inverse).

L'orthotomique d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des symétriques de P par rapport aux tangentes à la courbe C. L'orthotomique est donc l'image de la podaire par une homothétie de centre P et de rapport 2.

Sommaire

Étymologie et histoireModifier

La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).

Définition mathématiqueModifier

L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :

 

En partant de l'équation cartésienne de la courbe sous la forme F(x, y)=0, en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en R=(x0, y0) s'écrit

 

alors le vecteur (cos α, sin α) est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire.

ExemplesModifier

 
La podaire d'une parabole par rapport à son foyer est la tangente au sommet.
courbe
donnée C
point
de référence P
courbe
podaire
droite quelconque point
cercle sur le cercle cardioïde
cercle quelconque limaçon de Pascal
parabole foyer droite
ellipse foyer cercle
hyperbole équilatère centre lemniscate de Bernoulli
spirale logarithmique pôle spirale logarithmique

ApplicationsModifier

La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.

Article détaillé : Accélération de Siacci.

Lien externeModifier

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pedal curve » (voir la liste des auteurs).