Inversion (géométrie)

transformation de l'espace euclidien qui inverse les distances par rapport au centre de l'inversion
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En géométrie, une inversion est une transformation qui inverse les distances par rapport à un point donné, appelé centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l'image d'un point est d'autant plus éloignée du centre de l'inversion que le point d'origine en est proche.

Définition générale dans le cadre d’un espace affine euclidienModifier

Soient   un espace affine euclidien,   un point de   et   un réel non nul.

Définition — L'inversion de pôle   et de rapport   est l'application de   dans lui-même qui, à un point  , associe l’unique point

  tel que   (produit des mesures algébriques).

Soit   la sphère de centre   et de rayon  .

Définition — L'inversion par rapport à   est l'inversion de pôle   et de rapport  .

PropriétésModifier

  • Une inversion de rapport non nul est bijective.
  • Une inversion est une involution : elle est sa propre bijection réciproque.
  • L'inversion par rapport à une sphère   laisse les points de la sphère fixes, et les points intérieurs et extérieurs sont échangés. L'inversion est la version « sphérique » de la réfléxion.
  • On appelle sphère d’inversion (ou cercle d’inversion dans le plan) la sphère de centre   et de rayon  . Elle est toujours globalement invariante, et elle est fixe (invariante point par point) lorsque le rapport est positif. Toute inversion de rapport positif est l'inversion par rapport à sa sphère d’inversion.
  • Les hyperplans passant par   sont aussi des invariants globaux.

Le principal intérêt des inversions est la transformation d'hyperplans (droites) en hypersphères (cercles) et réciproquement, tout en préservant les angles :

Théorème — Toute inversion de centre   et de rapport non nul envoie :

  • les hypersphères (cercles) passant par   en des hyperplans (droites) ne passant pas par  , et réciproquement ;
  • les hyperplans (droites) ne passant pas par   en hypersphères (cercles) passant par   (  lui-même n'étant pas dans l'image) ;
  • les hypersphères (cercles) ne passant pas par   en des hypersphères (cercles) ne passant pas par   ;
  • les (hyper)plans (droites) passant par   en eux-mêmes (ils sont invariants).

L'ensemble constitué par les hypersphères et les hyperplans est stable par inversion.

Ainsi si dans le plan  ,   et   sont les images respectives de  ,   et   par une inversion de centre   de rapport non nul, alors  ,   et   sont alignés si et seulement si  , ,   et   sont cocycliques, ce qui est la raison profonde de l'égalité et de l'inégalité de Ptolémée.

Théorème — Les inversions de rapport non nul préservent les angles (orientés).

Ainsi par exemple deux droites ne passant pas par   sont perpendiculaires si et seulement si leurs cercles images le sont (deux cercles étant dits perpendiculaires si leurs tangentes aux points d'intersection le sont).

DistancesModifier

Si   et   sont les images respectives de   et   par une inversion de centre   de rapport   ( ), alors on a la relation entre les distances

 .

Dans le planModifier

Dans le plan affine euclidienModifier

 
Inverseur de Peaucellier.

Dans le plan affine euclidien, l’inverse d’un point est constructible au compas lorsqu’on connait le cercle d'inversion, ce qui permet de démontrer le :

Théorème de Mohr et Mascheroni — Toute construction à la règle et au compas peut se faire uniquement au compas (à l’exception des tracés des portions de droites).

Signalons aussi l’existence de « machines à inversion », l’inverseur de Peaucellier, utilisé pour transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire :

L'inverseur est un objet mécanique avec deux barres OP et OQ de longueur fixe   et 4 autres barres MP, MQ, M'P, M'Q de longueurs fixes   avec les points de pivots aux sommets du losange OMPQM'.

Pour un point   du plan affine euclidien et un rapport  , avec  , on peut construire l’inverse géométrique, pour l’inversion de centre   et de rapport  , de tout point dans la couronne centrée en  , de rayon intérieur  , et de rayon extérieur   de la façon suivante :
  • Un point   dans la couronne étant donnée, il existe deux points d’intersection   et   du cercle de centre   et de rayon  , et du cercle de centre   et de rayon  
  • Puis on construit l’unique point   tel que   soit un losange.
  • L’application qui à   fait correspondre   est bien l’inversion cherchée.

Dans le plan complexeModifier

Dans le plan complexe, une inversion particulière est celle par rapport au cercle unité ; en termes d’affixe complexe, elle est codée par l'application

 

On voit ainsi que cette inversion est composée de la conjugaison complexe et d’une homographie.

C’est en fait un résultat général : un cercle d’inversion étant donné, on choisit trois points   sur ce cercle, puis l’unique homographie   qui envoie   respectivement sur  . On vérifie alors que l’application  , où   dénote la conjugaison complexe, est précisément l’inversion cherchée, et son écriture comme composée d’une homographie et de la conjugaison complexe découle de l’écriture de   et   comme homographie.

On fait ensuite le lien avec le groupe circulaire, qui est l’ensemble des transformations, définies en fait sur la droite projective complexe, et qui envoient les droites et les cercles sur des droites et des cercles ; en identifiant la droite projective complexe à la sphère de Riemann, cette propriété de conservation s’exprime plus simplement : ce sont les cercles tracés sur cette sphère qui sont conservés. Il est clair que les inversions appartiennent au groupe circulaire ; et relativement simple de montrer qu’il en est de même pour les homographies. On peut montrer ensuite qu’en fait, le groupe circulaire est engendré par inversions et homographies.

Géométrie anallagmatiqueModifier

La géométrie anallagmatique est l'étude (au sens du programme d'Erlangen) de la géométrie dont le groupe d'invariants est le groupe circulaire[réf. souhaitée] ; elle est aussi connue sous le nom de géométrie de Möbius, ou (dans l'espace) de géométrie conforme (en).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier