Cubique de Tschirnhausen

En géométrie, la cubique de Tschirnhausen est une courbe algébrique définie par l'équation polaire

Cubique de Tschirnhausen, pour a=1

(sec est la fonction sécante, inverse du cosinus)

HistoireModifier

Cette courbe fut étudiée par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, Guillaume de l'Hôpital et Eugène Catalan. Le nom de « cubique de Tschirnhausen » fut mentionné pour la première fois en 1900 par Raymond Clare Archibald, bien qu'elle soit parfois connue sous le nom de « cubique de L'Hôpital » ou « trisectrice de Catalan ».

Autres équationsModifier

Posons t = tan(θ/3). Selon la formule de De Moivre, cela donne :

 
 

ce qui donne une équation paramétrique. Le paramètre t peut être facilement éliminé, ce qui donne l'équation cartésienne

 .

Si la courbe est translatée horizontalement de 8a, les équations deviennent

 

ou

 ,

ce qui donne la forme polaire

 .

PropriétésModifier

CaustiqueModifier

 
Caustique de parabole. Seuls les rayons réfléchis sont représentés. La direction des rayons incidents (non représentés) est donnée par celle de la tangente commune à la parabole et à la caustique, en noir. Les rayons réfléchis sur la gauche de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la droite, ceux réfléchis sur la droite de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la gauche.

Les caustiques de parabole, lorsque la source lumineuse est à l'infini, sont des cubiques de Tschirnhausen. Elle est réduite à un point, le foyer de la parabole, lorsque la direction de la source est l'axe de la parabole.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier