Plongement de Segre

En géométrie algébrique, le plongement de Segre est un morphisme qui identifie le produit fibré de deux espaces projectifs à une variété projective. Une conséquence en est que le produit fibré de deux variétés projectives est une variété projective.

Le cas des espaces projectifs

On fixe un corps $k$ et deux entiers naturels $n,m>0$ et on considère le produit fibré $P=\mathbb {P} _{k}^{n}\times _{k}\mathbb {P} _{k}^{m}$ des espaces projectifs de dimensions respectives $n,m$. Alors il existe un morphisme de variétés algébriques

$f:P\to \mathbb {P} _{k}^{nm+n+m}$

qui est une immersion fermée (i.e. $f$ induit un isomorphe sur son image qui est une sous-variété fermée de $\mathbb {P} _{k}^{nm+n+m}$). De plus, au niveau des points rationnels, on a

$f((x_{0}:\ldots :x_{n}),(y_{0}:\ldots :y_{m}))=(x_{0}y_{0}:x_{0}y_{1}:\ldots :x_{0}y_{m}:x_{1}y_{0}:\ldots :x_{n}y_{m}).$

Cette immersion est appelée le plongement de Segre.

De façon formelle, ce morphisme peut être construit localement sur un recouvrement affine. En effet $P$ est la réunion des $D_{+}(X_{i})\times _{k}D_{+}(Y_{j})$, et $\mathbb {P} _{k}^{nm+n+m}={\rm {Proj}}k[T_{ij}]_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m}$ est recouvert par les ouverts affines $D_{+}(T_{ij})$. Sur $D_{+}(X_{i})\times _{k}D_{+}(Y_{j})$, le morphisme $f$ est le morphisme de variétés affines

$D_{+}(X_{i})\times _{k}D_{+}(Y_{j})\to D_{+}(T_{ij})$

correspondant au morphisme surjectif de $k$-algèbres

$k[T_{kl}/T_{ij}]_{k,l}\to k[X_{k}/X_{i},Y_{l}/Y_{j}]_{k,l},\quad T_{kl}/T_{ij}\mapsto (X_{k}/X_{i})(Y_{l}/Y_{j}).$

Exemple

Si $n=m=1$, alors $f$ identifie le produit $\mathbb {P} _{k}^{1}\times _{k}\mathbb {P} _{k}^{1}$ des droites projectives à son image dans $\mathbb {P} _{k}^{3}$, laquelle est la quadrique d'équation

$t_{0}t_{3}-t_{1}t_{2}=0.$

Cas général

Soient $X,Y$ des variétés projectives sur $k$. Par définition, elles sont isomorphes respectivement à des sous-variétés fermées de $\mathbb {P} _{k}^{n}$ et $\mathbb {P} _{k}^{m}$. Alors le produit fibré $X\times _{k}Y$ est isomorphe à une sous-variété fermée de $\mathbb {P} _{k}^{n}\times _{k}\mathbb {P} _{k}^{m}$. Comme celle-ci est une variété projective par le plongement de Segre, on en déduit que $X\times _{k}Y$ est aussi une variété projective.