Plongement de Segre

En géométrie algébrique, le plongement de Segre est un morphisme qui identifie le produit fibré de deux espaces projectifs à une variété projective. Une conséquence en est que le produit fibré de deux variétés projectives est une variété projective.

Le cas des espaces projectifs

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On fixe un corps   et deux entiers naturels   et on considère le produit fibré   des espaces projectifs de dimensions respectives  . Alors il existe un morphisme de variétés algébriques

 

qui est une immersion fermée (i.e.   induit un isomorphe sur son image qui est une sous-variété fermée de  ). De plus, au niveau des points rationnels, on a

 

Cette immersion est appelée le plongement de Segre.

De façon formelle, ce morphisme peut être construit localement sur un recouvrement affine. En effet   est la réunion des  , et   est recouvert par les ouverts affines  . Sur  , le morphisme   est le morphisme de variétés affines

 

correspondant au morphisme surjectif de  -algèbres

 

Exemple

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Si  , alors   identifie le produit   des droites projectives à son image dans  , laquelle est la quadrique d'équation

 

Cas général

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Soient   des variétés projectives sur  . Par définition, elles sont isomorphes respectivement à des sous-variétés fermées de   et  . Alors le produit fibré   est isomorphe à une sous-variété fermée de  . Comme celle-ci est une variété projective par le plongement de Segre, on en déduit que   est aussi une variété projective.

Notes et références

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