En mathématiques, le pfaffien, ou le déterminant pfaffien, qui tire son nom du mathématicien allemand Johann Pfaff, est un scalaire qui intervient dans l'étude des matrices antisymétriques. Il s'exprime de façon polynomiale à l'aide des coefficients de la matrice. Ce polynôme est nul si la matrice est de taille impaire ; il ne présente d'intérêt que dans le cas des matrices antisymétriques de taille 2n × 2n, son degré est alors n. Le pfaffien d'une matrice A est noté .

Le pfaffien est relié au déterminant. En effet, le déterminant d'une telle matrice peut toujours être exprimé comme un carré parfait, et en fait le carré du pfaffien. Explicitement, pour une matrice antisymétrique de taille 2n × 2n, on a

HistoireModifier

Le terme « pfaffien » fut introduit par Arthur Cayley, qui l'utilisa en 1852 : « Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerai pfaffiens » . Le mathématicien allemand à qui il fait référence est Johann Friedrich Pfaff.

C'est en 1882 que Thomas Muir prouve le lien entre pfaffien et déterminant d'une matrice antisymétrique. Il publie ce résultat dans son traité sur les déterminants[1].

Définition formelleModifier

Soit A = {ai,j} une matrice antisymétrique 2n×2n. Le pfaffien de A est défini par :

 

S2n est le groupe symétrique et sgn(σ) est la signature de σ.

SimplificationModifier

Cette définition peut être simplifiée en utilisant l'antisymétrie de la matrice, ce qui évite d'additionner toutes les permutations possibles.

Soit Π l'ensemble de toutes les partitions de {1, 2, …, 2n} en paires, indépendamment de l'ordre. Il y en a (2n − 1)!!. Un élément α ∈ Π peut être écrit sous la forme :

 

avec   et  . Soit

 

la permutation correspondante. π ne dépend que de α. Étant donnée une partition α, on peut définir :

 

Le pfaffien de A est alors :

 

Le pfaffien d'une matrice antisymétrique n×n pour n impair est défini nul.

Définition alternativeModifier

On peut associer, à toute matrice antisymétrique 2n×2n A ={aij}, un bivecteur :

 

où {e1, e2, …, e2n} est la base canonique de R2n. Le Pfaffien est alors défini par la relation :

 

Ici, ωn dénote le produit extérieur de n copies de ω avec lui-même. Le pfaffien apparaît donc comme le coefficient de colinéarité entre ωn et la forme volume de R2n.

ExemplesModifier

 
 


 

Identités remarquablesModifier

Identités généralesModifier

Pour une matrice A antisymétrique 2n × 2n et une matrice arbitraire 2n × 2n, notée B,

  •   (lemme de Muir)
  •  
  •  
  •  

Matrices diagonales par blocsModifier

Le pfaffien d'une matrice antisymétrique diagonale par blocs de la forme

 

est le produit des pfaffiens des blocs

 .

Cela se généralise par récurrence à plus de deux blocs.

Matrice carrée quelconqueModifier

 .

ApplicationsModifier

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pfaffian » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants, réédité et augmenté en 1930.
  2. (en) Nicol Schraudolph et Dmitry Kamenetsky, « Efficient exact inference in planar Ising models », dans Advances in Neural Information Processing Systems, vol. 21, MIT Press, (lire en ligne).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier