Classe d'Euler

En topologie algébrique, la classe d’Euler est une classe caractéristique d'un fibré vectoriel réel orienté. Elle mesure l’obstruction à trouver une section d’un fibré qui ne s’annule pas. Cette notion trouve son origine dans la théorie de l'homologie.

Définition

Soit ξ un fibré vectoriel réel orienté de rang $r$ sur une variété compacte orientée $B$ de dimension $n$ . Une section générique $s$ de ξ est transverse à la section nulle. Par conséquent, le lieu de ses zéros est une sous-variété $s^{-1}(0)$ compacte sans bord orientée de dimension $n$-$r$, elle possède une classe d’homologie [$s^{-1}(0)$] $\in \mathbb {H} _{n-r}(B,\mathbb {Z} ))$ qui ne dépend pas du choix de la section. C’est la classe d’Euler de ξ en homologie.

Exemple

Si ξ = $TB$ est le fibré tangent de $B$, $s$ un champ de vecteurs générique, alors [$s^{-1}(0)$] $\in \mathbb {H} _{0}(B,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ compte le nombre de zéros avec signes de s. D’après un théorème de H. Hopf, ce nombre coïncide avec la caractéristique d’Euler-Poincaré de B, d’où le nom de classe d’Euler.

Bibliographie

• (en) John Willard Milnor et James Stasheff, Characteristic classes, PUP, coll. « Annals of Mathematics Studies » (n^o 76), 1974
• (en) Edwin Spanier, Algebraic Topology, 2008 (ISBN 978-0387944265)