Nombre dodécaédrique

Un nombre dodécaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un dodécaèdre régulier. Le nombre dodécaédrique d'ordre n, correspondant au cas où il y a n points sur chaque arête du dodécaèdre, est donné par la formule : 

Anaglyphe d'une construction de $D_{3}=84$ ; il y a 20 boules aux sommets, plus 30 boules aux milieux des arêtes, plus 2 x 12 = 24 boules à l'intérieur des faces, plus 10 boules supplémentaires pour le petit dodécaèdre interne.

$D_{n}={n(3n-1)(3n-2) \over 2}={\binom {3n}{3}}=n\left(9{\binom {n}{2}}+1\right)$.

Les premiers de ces nombres sont 1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480, ... (suite A006566 de l'OEIS).

Le huitième est 2024, qui est donc une année "dodécaédrique".

Obtention du nombre dodécaédrique d'ordre n

On obtient $D_{n}$ à partir de la relation : $D_{n}-D_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))$

où $S=20,A=30,F=12$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre, $\{k,d\}=\{5,3\}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et $P_{k,n}$ le nombre k-gonal d'ordre n .

On obtient donc $D_{n}-D_{n-1}=(20-1)+(30-3)(n-2)+(12-3)(n(3n-1)/2-5(n-1))={\frac {27n^{2}-45n+20}{2}}$.

D'où $D_{n}={\frac {1}{2}}\left(27{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-45{\frac {n(n+1)}{2}}+20n\right)={n(3n-1)(3n-2) \over 2}$.

Relation avec les nombres tétraédriques

Le nombre dodécaédrique d'ordre $n$ est le nombre tétraédrique d'ordre $3n-2$ : $D_{n}={\binom {3n-2+2}{3}}=T_{3n-2}$.

Relation avec les nombres icosaédriques

$D_{n}=I_{n}+2n^{2}(n-1)$ où $I_{n}$ est le nombre icosaédrique d'ordre $n$.

Voir aussi

• Nombre icosaédrique
• Nombre dodécaédrique centré