En mathématiques, les nombres de Lucas sont les termes de la suite de Lucas généralisée associée à la suite de Fibonacci. Cette suite est donc définie par la même relation de récurrence linéaire :

La spirale des nombres de Lucas, formée à l'aide de quarts d'arcs de cercle à l'intérieur de carrés dont la mesure des côtés correspondent aux nombres de Lucas.

mais par deux valeurs initiales différentes : au lieu de 0 et 1,

La suite (Ln) est appelée « suite de Fibonacci-Lucas » ou plus simplement « suite de Lucas ».

Premières valeurs

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Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir de n = 1. Ses dix premiers termes (pour n de 0 à 9) sont 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 et 76 (pour n jusqu'à 500, voir la suite A000032 de l'OEIS).

Propriétés

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Relation entre un nombre de Lucas et le nombre d’or

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Le terme général Ln de la suite de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or φ par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci :

  ;

Les puissances successives de φ sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément,   est égal à 1/φn, qui est strictement inférieur à 1/2 pour   (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que Ln est alors l'entier le plus proche de φn. Par exemple : φ2 = 2,61809..., φ3 = 4,23606..., φ4 = 6,85410...

Relations entre les nombres de Lucas et ceux de Fibonacci

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Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :

  •  
  •  
  •  
  •  , et ainsi la suite   converge vers  .
  •  
  •  
  •  
  •  , et donc
  •  , et
  •  

Relation entre Ln, Fn et le nombre d’or

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En comparant la formule de Binet,  , et la formule analogue pour la suite de Lucas,  , on déduit la relation entre Ln, Fn et φ :

 

Divisibilité des nombres de Lucas

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Une première approche de la question de la divisibilité de Ln par un entier a consiste à étudier la suite des restes de Ln modulo a : cette suite (rn) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence (rn + 2 = rn + 1 + rn) et est donc périodique de période au plus a2 (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation Ln = F2n/Fn, dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de Fibonacci[1],[2].

On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n'est divisible par un nombre de Fibonacci   [1].

Nombres de Lucas premiers

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On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521etc. — suite A005479 de l'OEIS — est infinie[3].

Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, etc. ( A001606), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2 [3], et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

Congruences

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  •   (car  )
  •   si n est premier mais la réciproque est fausse. Les nombres composés vérifiant   sont les nombres pseudo-premiers de Fibonacci.

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas number » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) T. Lengyel, The order of the Fibonacci and the Lucas numbers, Fibonacci Quarterly, 1995.
  2. (en) Thomas Jeffery et Rajesh Pereira, Divisibility Properties of the Fibonacci, Lucas, and Related Sequences, 2013.
  3. a et b (en) Chris Caldwell, « The Prime Glossary: Lucas prime », sur Prime Pages.

Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Number », sur MathWorld