Nombre de Lucas

En mathématiques, les nombres de Lucas sont les termes de la suite de Lucas généralisée associée à la suite de Fibonacci. Cette suite est donc définie par la même relation de récurrence linéaire :

mais par deux valeurs initiales différentes : au lieu de 0 et 1,

La suite (Ln) est appelée « suite de Fibonacci-Lucas » ou plus simplement « suite de Lucas ».

Premières valeursModifier

Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir de n = 1. Ses dix premiers termes (pour n de 0 à 9) sont 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 et 76 (pour n jusqu'à 500, voir la suite A000032 de l'OEIS).

PropriétésModifier

Relation entre un nombre de Lucas et le nombre d’orModifier

Le terme général Ln de la suite de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or φ par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci :

  ;

Les puissances successives de φ sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément,   est égal à 1/φn, qui est strictement inférieur à 1/2 pour   (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que Ln est alors l'entier le plus proche de φn. Par exemple : φ2 = 2,61809..., φ3 = 4,23606..., φ4 = 6,85410...

Relations entre les nombres de Lucas et ceux de FibonacciModifier

Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :

  •  
  •  
  •  , et ainsi la suite   converge vers  .
  •  
  •  
  •  , et donc
  •  , et
  •  

Relation entre Ln, Fn et le nombre d’orModifier

En comparant la formule de Binet,  , et la formule analogue pour la suite de Lucas,  , on déduit la relation entre Ln, Fn et φ :

 

Divisibilité des nombres de LucasModifier

Une première approche de la question de la divisibilité de Ln par un entier a consiste à étudier la suite des restes de Ln modulo a : cette suite (rn) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence (rn+2 = rn+1 + rn) et est donc périodique de période au plus a2 (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation Ln = F2n/Fn, dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de Fibonacci[1],[2].

On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n'est divisible par un nombre de Fibonacci   [1].

Nombres de Lucas premiersModifier

On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521etc. — suite A005479 de l'OEIS — est infinie[3].

Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, etc. ( A001606), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2 [3], et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

CongruencesModifier

  •   (car  )
  •   si n est premier mais la réciproque est fausse. Les nombres composés vérifiant   sont les nombres pseudo-premiers de Fibonacci.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas number » (voir la liste des auteurs).

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Number », sur MathWorld