Nombre de Dottie

Représentation graphique du nombre de Dottie

Le nombre de Dottie est un nombre remarquable, défini comme l'unique solution de l'équation x - cos(x)=0[a].

Sa valeur approchée est 0,739085133215[b].

Sa représentation géométrique est le point d'intersection de la droite d'équation y = x et de la courbe d'équation y = cos (x).

On ne connait pas actuellement d'application utilisant cette valeur, ni en algèbre, ni en géométrie, ni en sciences appliquées ; le professeur de mathématiques qui lui a donné son nom l'utilise uniquement comme source d'exercices pour ses étudiants[1].

Le nombre de Dottie est transcendant d'après le théorème d'Hermite-Lindemann[2],[c].

Valeurs trigonométriques liées à ce nombreModifier

Appelons D le nombre de Dottie, on a :

sin(D) ≈ 0,673612029183
tan(D) ≈ 0,911413312094

BibliographieModifier

  • James Stewart Single Variable Calculus : Concepts and Contexts Brook/Cole 2010, (ISBN 978-0-495-55972-6), page 314
  • Kaplan S.R. The Dottie Number Math.Mag. 80, 2007, pages 73 et 74
  • Miller T.H. On the Numerical Values of the Roots of the Equation cos x = x Proc. Edimburg Math. Soc. 9, 1890, pages 80 à 83
  • Bertrand J. Exercice III Traité d'Algèbre Vol 1-3, 4e édition Paris Librairie de L. Hachette et Cie, 1865, page 285

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. x est, naturellement, exprimé en radians.
  2. Le site en russe de pikabu donne plus précisément comme valeur 0,739085 133215 160641 66... voir le lien http://pikabu.ru/story/kosinus_07390851332_1230436.
    Une calculette d'ordinateur à 32 décimales donne le nombre 0,739085 133215 160641 655312 087673 87...
  3. On note   le nombre de Dottie. Supposons qu'il n'est pas transcendant. Il est donc algébrique et donc son produit par i aussi. De plus par définition,  . Mais alors d'après le théorème d'Hermite-Lindemann, on a   qui est transcendant. Or comme  ,   est transcendant aussi, et n'est donc pas algébrique : on aboutit à une contradiction si l'on suppose   algébrique.   est donc transcendant.

RéférencesModifier

  1. Samuel R Kaplan, « The Dottie Number », Mathematics Magazine, vol. 80,‎ , p. 73 (lire en ligne, consulté le 29 novembre 2017)
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Dottie Number », sur MathWorld

Liens externesModifier