Nombre 4-polytopique centré

En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique centré, ou nombre 4-hyperpolyédrique centré, ou encore nombre polychorique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés dans un 4-polytope, ou polychore, par couches successives autour du centre.

Cas des 4-polytopes réguliers

Formules

Si l'on note $P_{n}$ le nombre de points à l'étape $n$, où il y a $n$ points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :

Nombre 4-polytopique	$P_{n+1}-P_{n}$	$P_{n}$	$P_{1},\cdots ,P_{10}$	Rang OEIS
Nombre pentachorique centré ou 4-hypertétraédrique centré	${\frac {5}{6}}n(n^{2}+5)$	${\frac {5n^{4}-10n^{3}+55n^{2}-50n+24}{24}}$$={\binom {n+4}{5}}-{\binom {n-1}{5}}$	1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876	suite A000332 de l'OEIS
Nombre octachorique centré ou 4-hypercubique centré	$8n(n^{2}+1)$$=(n+1)^{4}-(n-1)^{4}$	$n^{4}+(n-1)^{4}$	1, 17, 97, 337, 881, 1921, 3697, 6497, 10657, 16561	suite A008514 de l'OEIS
Nombre hexadécachorique centré ou 4-hyperoctaédrique centré	${\frac {8}{3}}n(n^{2}+2)$	${\frac {2n^{4}-4n^{3}+10n^{2}-8n+3}{3}}$	1, 9, 41, 129, 321, 681, 1289, 2241, 3649, 5641	suite A001846 de l'OEIS
Nombre icositétrachorique centré ou polyoctaédrique centré	$8n(2n^{2}+1)$	$\left(n^{2}+(n-1)^{2}\right)^{2}$	1, 25, 169, 625, 1681, 3721, 7225, 12769, 21025, 32761	suite A092181 de l'OEIS
Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique centré	$60n(9n^{2}+1)$	$135n^{4}-270n^{3}+165n^{2}-30n+1$	1, 601, 5041, 19801, 54601, 122401, 239401, 425041, 702001, 1096201
Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique centré	$20n(5n^{2}+1)$	$(5n^{2}-5n+1)^{2}$	1, 121, 961, 3721, 10201, 22801, 44521, 78961, 130321, 203401

Notons que $P_{1}$ est le nombre de sommets du polytope correspondant, plus une unité.

Principe d'obtention de ces formules

On considère un 4-polytope régulier à $S$ sommets, $A$ arêtes, $F$ faces et $C$ cellules : Supposons que la figure de l'étape $n-1$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape $n$ en ajoutant :

• $S$ nouveaux points situés aux $S$ nouveaux sommets,

• $(n-2)A$ nouveaux points situés à l'intérieur des $A$ nouvelles arêtes,
• $(P_{k,n}-k(n-1))F$ nouveaux points situés à l'intérieur des $F$ nouvelles faces k-gonales, $P_{k,n}$ étant le nombre k-gonal d'ordre $n$,
• $C\times Q_{n}$ nouveaux points situés à l'intérieur des $C$ nouvelles cellules, $Q_{n}$ étant le nombre polyédrique d'ordre $n$ associé au cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.

Si l'on note $P_{n}$ le nombre de points à l'étape $n$, on a donc $P_{n}-P_{n-1}=(S-1)+A(n-2)+F(P_{k,n}-k(n-1))+C\times Q_{n}$.

Partant de $P_{0}=0$, on obtient donc $P_{n}$ en écrivant $P_{n}=1+\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})$.

Exemple pour le 4-hypercube

Pour le 4-hypercube, $S=16,A=32,F=24,C=8$ ; $k=4$ et $P_{4,n}=n^{2}$ ; enfin $Q_{n}=n^{3}-8-12(n-2)-6(n^{2}-4(n-1))$.

On obtient $P_{n}-P_{n-1}=8n^{3}-24n^{2}+32n-16=n^{4}-(n-2)^{4}$, ce qui donne bien $P_{n}=n^{4}+(n-1)^{4}$.

Voir aussi

• Nombre polyédrique centré
• Nombre 4-polytopique